mobile wallpaper 1mobile wallpaper 2mobile wallpaper 3
Profile Image of the Author
两只鸽子
公告
这个网站是从2026年的情人节开始建立的，望周知
1422 字
4 分钟
微积分下 18 - 积分的计算方法
2026-08-08
学习
微积分
/
数学

使用直角划分计算二重积分#

在 xOyxOy 平面上划分这一曲面，我们与一元定积分一样，认为边界处的小区域求和趋于0，因此直接丢掉，得到区域面积的表达式

S(D)=lim⁡dx→0,dy→0∑S(Dij),Dij⊂DS(D)=\lim_{dx\to 0,dy\to 0}\sum S(D_{ij}),D_{ij}\subset D

于是定义积分为

∬Df(x,y)dxdy\iint_D f(x,y)dxdy

dxdydxdy 就是面积元素

求解曲顶柱体的体积#

X形区域：穿过D内部并且平行于y轴的任意直线与D的边界相交不多于两点 Y形区域：穿过D内部并且平行于x轴的任意直线与D的边界相交不多于两点

对于积分区域 DD，我们可以用

ϕ1(x)≤y≤ϕ2(x),a≤x≤b\phi_1(x)\le y\le \phi_2(x), a\le x \le b

来表示

其中 ϕ1,ϕ2\phi_1,\phi_2 是 xOyxOy 平面上，曲边梯形中上下两条”曲边”的方程

然后，我们沿着y轴方向将曲边梯形切片，就得到一个截面积

A(x0)=∫ϕ1(x0)ϕ2(x0)f(x0,y)dyA(x_0)=\int_{\phi_1(x_0)}^{\phi_2(x_0)}f(x_0,y)dy

然后把每一个x处的面积求和，就得到

V=∫abA(x)dx=∫abdx∫ϕ1(x)ϕ2(x)f(x,y)dyV=\int_a^bA(x)dx=\int_a^b dx\int_{\phi_1(x)}^{\phi_2(x)}f(x,y)dy

这就是把二重积分化为先对y积分，后对x积分时的公式，这种形式称为累次积分，只能对X形区域使用

同理，如果 DD 可以表达为

ψ1(y)≤x≤ψ2(x),c≤y≤d\psi_1(y)\le x\le \psi_2(x),c\le y\le d

就有先对x积分，再对y积分的二重积分公式，只能对Y形区域使用

V=∫cddy∫ψ1(x)ψ2(x)f(x,y)dxV=\int_c^ddy\int_{\psi_1(x)}^{\psi_2(x)}f(x,y)dx

如果区域既不是X形区域，也不是Y形区域，那也有可能将其划分为多个X或Y形区域的组合，然后分别求重积分加和

如果一个区域同时是X形区域和Y形区域，那么

∫abdx∫ϕ1(x)ϕ2(x)f(x,y)dy=∫cddy∫ψ1(y)ψ2(y)f(x,y)dx\int_a^b dx\int_{\phi_1(x)}^{\phi_2(x)}f(x,y)dy=\int_c^ddy\int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)}f(x,y)dx

这就体现出，这两个不同次序的二次积分相等，因为其等同于同一个二重积分

然而有时候，次序不同会使得求解难度有显著差异，这时候不妨通过改变范围的表示，然后调换积分次序

使用极坐标下的划分求解二重积分#

一些二重积分使用极坐标划分来表示比较便捷，此时我们转换

x=ρcos⁡θ,y=ρsin⁡θx=\rho\cos\theta,y=\rho\sin\theta

就有

∬Df(x,y)dσ=∬Df(ρcos⁡θ,ρsin⁡θ)ρdρdθ=∫θ1θ2∫ρ1(θ)ρ2(θ)f(ρcos⁡θ,ρsin⁡θ)ρdρdθ\iint_Df(x,y)d\sigma=\iint_Df(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)\rho d\rho d\theta=\int_{\theta_1}^{\theta_2}\int_{\rho_1(\theta)}^{\rho_2(\theta)}f(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)\rho d\rho d\theta

ρdρdθ\rho d\rho d\theta 就是面积元素，其中 ρ1(θ)≤ρ≤ρ2(θ)\rho_1(\theta)\le\rho\le\rho_2(\theta)

计算顺序就是

∫θ1θ2dθ∫ρ1(θ)ρ2(θ)f(ρcos⁡θ,ρsin⁡θ)ρdρ\int_{\theta_1}^{\theta_2}d\theta\int_{\rho_1(\theta)}^{\rho_2(\theta)}f(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)\rho d\rho

这就相当于用点光源照射区域

如果出现了平方和的形式，或者曲线本身就是极坐标表示，就可以先考虑这样的方法

使用换元公式计算二重积分(坐标变换)#

如果函数的形式复杂，我们就可以考虑换元，进行坐标变换，令

u=f(x,y),v=g(x,y)u=f(x,y), v=g(x,y)

u,vu,v 的范围由 x,yx,y 决定，使用代数方法计算即可，并且满足 x=x(u,v),y=y(u,v)x=x(u,v),y=y(u,v) 在 D′D' 上有一阶连续偏导数， ∣J∣≠0|J|\neq 0，并且变换 D′→DD' \to D 是一一对应的

然后就有雅各比行列式

J=∣∂x∂u∂x∂v∂y∂u∂y∂v∣J=\begin {vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v}\\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end {vmatrix}

得到

dxdy=J⋅dudvdxdy=J\cdot dudv

然后

∬Df(x,y)dxdy=∬D′f(x(u,v),y(u,v))Jdudv\iint_Df(x,y)dxdy=\iint_{D'}f(x(u,v), y(u,v))Jdudv

这就是坐标变换时使用的换元公式

使用直角划分求解三重积分#

三重积分求解的逻辑与二重积分类似，具有被积函数，体积元素，积分区域，也表示为

∭Ωf(x,y,z)dxdydz\iiint_\Omega f(x,y,z)dxdydz

对于其计算方法，有 f(x,y,z)=0f(x,y,z)=0，且符合 z1(x,y)≤z≤z2(x,y)z_1(x,y)\le z \le z_2(x,y)，我们使用

∭Ωf(x,y,z)dV=∬Dxy[∫z1(x,y)z2(x,y)f(x,y,z)dz]dxdy\iiint_\Omega f(x,y,z)dV=\iint_{D_{xy}}[\int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)dz]dxdy

这就是投影法，先确定x,y，然后得到一个柱形区域，这里的z范围受到x,y限制，也得到一个投影，这样就把三重积分处理为了二重积分，然后再确定y的区域时，就与z无关了，因为我们压缩了它

当立体的上下表面明确，投影区域好找的时候，使用投影法，最为常用

或者，我们可以运用截面法，相当于在垂直于z轴的方向上给立体切片，我们先确定z值，然后在平面 z=z0z=z_0 上切出一个截面 DzD_z，对其进行二重积分

\iiint_\Omega f(x,y,z)dV=\int_{z_\min}^{z_\max}(\iint_{D_z}f(x,y,z)dxdy)dz

当立体是旋转体的时候，使用这种方法在每个z上都切出一个圆，可以使用，当立体是椭球体的时候同理，也可以使用，总之其截面的形式简单时使用

最终得到

∫abdx∫y1(x)y2(x)dy∫z1(x,y)z2(x,y)f(x,y,z)dz\int_a^bdx\int_{y_1(x)}^{y_2(x)}dy\int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)dz

这就是三重积分的计算公式

使用换元法求解三重积分(坐标变换)#

我们令 x=x(u,v,w),y=y(u,v,w),z=z(u,v,w)x=x(u,v,w), y=y(u,v,w), z=z(u,v,w)，

对于其有雅各比行列式

J=∂(x,y,z)∂(u,v,w)=∣∂x∂u∂x∂v∂x∂w∂y∂u∂y∂v∂y∂w∂z∂u∂z∂v∂z∂w∣J = \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} & \frac{\partial x}{\partial w} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} & \frac{\partial y}{\partial w} \\ \frac{\partial z}{\partial u} & \frac{\partial z}{\partial v} & \frac{\partial z}{\partial w} \end{vmatrix}

可以看到，行的顺序是xyz，列的顺序是uvw

然后

∭Ωf(x,y,z)dxdydz=∭Ω′f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))J⋅dudvdw\iiint_\Omega f(x,y,z)dxdydz=\iiint_{\Omega '}f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))J\cdot dudvdw

这就是三重积分的换元公式

常见的坐标变换#

使用柱面坐标求解三重积分#

x=ρcos⁡θ,y=ρsin⁡θ,z=zx=\rho\cos\theta, y=\rho\sin\theta, z=z，这常见于先确定z的截面法求解

使用球坐标求解三重积分#

空间上的一点 MM 可以由到原点的距离 rr，有向线段 OM⃗\vec{OM} 与 zz 轴正方向所成夹角 ϕ\phi ，从 zz 轴正方向来看，从 xx 轴正方向按逆时针方向旋转到 OM⃗\vec{OM} 在 xOyxOy 平面上的投影所对应有向线段 OP⃗\vec{OP} 的角度 θ\theta

然后 x=rsin⁡ϕcos⁡θ,y=rsin⁡ϕsin⁡θ,z=rcos⁡ϕx=r\sin\phi\cos\theta, y=r\sin\phi\sin\theta, z=r\cos\phi，就有

∭Ωf(x,y,z)dxdydz=∭ΩF(r,ϕ,θ)r2sin⁡ϕdrdϕdθ\iiint_\Omega f(x,y,z)dxdydz=\iiint_\Omega F(r,\phi,\theta)r^2\sin\phi drd\phi d\theta

其中 r2sin⁡ϕdrdϕdθr^2\sin\phi drd\phi d\theta 即为面积元素，雅各比行列式的值 J=r2sin⁡ϕJ=r^2\sin\phi

这时候，如果要覆盖一整个球体，那么

0≤θ≤2π,0≤ϕ≤π0\le \theta \le 2\pi,0\le \phi \le \pi

这是 θ\theta 和 ϕ\phi 的最大范围

要确定此处的积分上下界，需要先确定 θ\theta 和 ϕ\phi (通常这两项互不影响，对于旋转体尤其如此)，然后得出在当前 θ\theta 和 ϕ\phi 所确定的射线与积分区域的交点来确定 rr 的范围

如果出现了平方和的形式，或者曲线本身就是极坐标表示，就可以考虑使用这种方法

重积分的对称性#

假设积分区域 DD 关于 yy 轴 对称（即若 (x,y)∈D(x,y) \in D，则 (−x,y)∈D(-x,y) \in D），D1D_1 为 yy 轴右侧的半个区域：

  • 奇函数： 如果 f(−x,y)=−f(x,y)f(-x, y) = -f(x, y)，则 ∬Df(x,y)dxdy=0\iint_D f(x,y) dxdy = 0
  • 偶函数： 如果 f(−x,y)=f(x,y)f(-x, y) = f(x, y)，则 ∬Df(x,y)dxdy=2∬D1f(x,y)dxdy\iint_D f(x,y) dxdy = 2 \iint_{D_1} f(x,y) dxdy

奇的有用，因为为0

分享

如果这篇文章对你有帮助，欢迎分享给更多人！

微积分下 18 - 积分的计算方法
https://hatoya-doublepigeonblog.pages.dev/posts/微积分下_18_-_积分的计算方法/
作者
两只鸽子
发布于
2026-08-08
许可协议
CC BY-NC-SA 4.0

部分信息可能已经过时

微积分下 19 -对弧长的曲线积分
微积分下 17 - 多重积分的概念与性质
© 2026 两只鸽子. All Rights Reserved. / RSS / Atom / Sitemap
Powered by Astro & Mizuki  Version 8.2