曲顶柱体的体积#

一重积分代表面积，显然二重积分就代表体积

对于 $z=f(x,y)$，我们将 $(x,y)\in D$ 分为n个闭合小区域 $\Delta \sigma$ ，其也是曲面在 $xOy$ 平面上投影的一个微分小面积，显然柱体的体积是

如果面积可微，那么其一定可写为 $\Delta V=As(\sigma)+o(s(\sigma))$

于是，对于闭合小区域中，我们任取其中一点 $(\xi_i,\eta_i)$

其中 $\lambda \to 0$ 表示小闭合区域的最大直径趋于0

如果这一极限存在，那么我们称这一曲顶有客观体积，也称 $f(x,y)$ 在区域 $D$ 上可积

任何定义在 $D$ 上的连续函数都是可积的，连续则可积！

然后我们引出定义：若 $f(x,y)$ 是有界闭区域 $D$ 上的有界函数，将 $D$ 分割为 $n$ 个小闭合区域 $\Delta\sigma_1, ... , \Delta\sigma_n$，在每一个小区域上取任意点 $(\xi_i,\eta_i)$，然后做乘积 $f(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i$，如果小区域直径的最大值 $\lambda\to 0$ 时，极限的和 $=\lim_{\lambda\to 0}\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i, \eta_i)\Delta\sigma_i$ 存在，并且与区域的分割方法和任意点 $(\xi_i,\eta_i)$ 的取法无关，那么就称此极限为 $f(x,y)$ 在 $D$ 上的二重积分，记作

我们称 $f(x,y)$ 为被积函数， $f(x,y)d\sigma$ 为被积表达式， $d\sigma$ 为面积元素，$x,y$ 为积分变量，$D$ 为积分区域，$\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i, \eta_i)\Delta\sigma_i$ 为积分和

由于划分是任意的，且如果可积，那么任何划分出来的结果一直，于是我们可以进行标准划分，如果在直角坐标系中平行于坐标轴地进行划分，那么除了边界处的一些小闭合区域，其余区域的面积都为 $dxdy$，并且边缘对应项的和为0，忽略不计，我们就可以把二重积分记作

$dxdy$ 就变成了面积元素

二重积分的运算性质#

以 $\sigma$ 表示区域的总面积， $d\sigma$ 表示面积微元

积分的和是可分的

积分在区域上有可加性

积分具有保号性

积分对于区域 $D$ 上的最大值，最小值为 $M,m$，$\sigma$ 表示区域面积，有

积分有中值定理，如果f(x,y)在闭区域上连续 $D$，则其上至少有一点 $(\xi,\eta)$ 使得