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微积分下 07 - 向量及其运算

2026-06-07

学习

微积分

/

学习

对于已经在高中学习过的向量知识，我们不加赘述

投影#

我们定义

Prj_{\vec a}\vec b

为 $\vec b$ 在 $\vec a$ 上的投影，即为 $|\vec b|\cos{\theta}$

内积#

然后

|\vec a|Prj_{\vec a}\vec b =|\vec a||\vec b|\cos{{\theta}}

即为内积，记作 $\vec a \cdot \vec b$ ，将其正交分解，很容易就可以知道

\vec a \cdot \vec b=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2

内积满足分配律

外积(向量积)#

\vec a \times \vec b=|\vec a||\vec b|\sin{(\hat{\vec a,\vec b})}\vec e_c = \vec c

方向由右手定则确定，四指由 $\vec a$ 转向 $\vec b$ ，此时大拇指的方向即为 $\vec c$ 的方向

由于方向是右手定则确定的，就可以知道

\vec a \times \vec b=-\vec b \times \vec a

其还有分配律

\begin {aligned} (\lambda\vec a) \times \vec b = \ \vec a \times (\lambda \vec b)=\lambda(\vec a \times \vec b)\\ \vec a\times(\vec b+\vec c)=\vec a \times \vec b+\vec a \times\vec c \end {aligned}

在进行外积时，仅三维空间由如此简单的方向表示，并且可以写为

\vec a\times \vec b= \begin {vmatrix} i&j&k\\ a_x&a_y&a_z\\ b_x&b_y&b_z \end {vmatrix}

在二维情况下，我们推导

\begin {aligned} \vec a \times \vec b&=(a_x,a_y)\times(b_x,b_y)\\ &=((a_x,0)+(0,a_y))\times((b_x,0)+(0,b_y))\\ &=(a_x,0)\times(0,b_y)+(0,a_y)\times(b_x,0)\\ &=a_xb_y-b_xa_y \end {aligned}

这一式子就求出了一个有方向的模长，为什么说有方向呢？我们将二维向量升维，结果实际上是

(0,0,a_xb_y-b_xa_y)

方向实际上是相对与Z轴向上或向下的

混合积#

就是混合了外积和内积的运算，有

(\vec a \times \vec b)\cdot \vec c= \begin {vmatrix} a_x&a_y&a_z\\ b_x&b_y&b_z\\ c_x&c_y&c_z \end {vmatrix}

如果三个向量共面，那么其混合积就为0

微积分下 07 - 向量及其运算

https://hatoya-doublepigeonblog.pages.dev/posts/微积分下_07_-_向量及其运算/

作者

两只鸽子

发布于

2026-06-07

许可协议

CC BY-NC-SA 4.0

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投影#

内积#

外积(向量积)#

混合积#