三维欧氏空间的面积矢量#
有时候处理问题，我们还需要一个面的朝向，因此为了同时描述一个面的大小和其在空间中的朝向，我们引入面积矢量
对于一个平坦的表面，定义面积矢量为
S=S⋅n其中S为平面的面积，n 为平面的单位法向量
要构建面积矢量，只需使用向量的外积即可，这样其就既有大小也有方向
S=a×b这就是平行四边形的面积矢量
其运算规律就是矢量运算规律，其加法就是矢量加法，计算出来的是等效投影面积，数乘就是倍数
其点乘 S1⋅S2 对应了物理意义上的通量，就是 ∣S1∣∣S2∣cosθ ，相当于将第一个面积投影到第二个平面上，在于第二个面的面积相乘
其与长度矢量的内积就是物理意义上的体积，也就是 ∣c∣∣S∣cosθ ，可以观察出就是底面积乘以高
曲面方程和空间曲面方程的概念#
正如二维平面中的曲线定义那样，三维的曲面也看作是点的运动轨迹，也就是无数个点的集合
于是就有这样一个方程，曲面上的任意一个点都满足这一方程，不在曲面上的点都不满足这一方程
F(x,y,z)=0并且，如果联立两个曲面方程，如果能得出解，那么算出的就是其交线（或交点）
限制方程#
点法式方程#
平面上的任意一个向量都与法向量垂直，于是我们找到平面上的一个定点 M0 和一个任意点 M，就有了
n⋅M0M=0n=(A,B,C) ，就可以得出
A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0就是点法式方程
一般式方程#
由点法式方程我们很容易可以得到
Ax+By+Cz+D=0就是一般式方程，其法向量就是 n=(A,B,C)
截距式方程#
对于一般式方程，如果其 D=0，也就是不过原点，就可以得到一个
ax+by+cz=1其中 a,b,c 就是平面与坐标轴交点的那一个坐标
两平面的夹角#
我们定义平面的法向量的夹角 (通常指直角或者锐角) 为两平面的夹角，于是我们有
cosθ=A12+B12+C12A22+B22+C22∣A1A2+B1B2+C1C2∣于是有推论
平面相互垂直等价于
A1A2+B1B2+C1C2=0平面相互平行等价于
A2A1=B2B1=C2C1
点到平面距离#
对于一个点 P(x0,y0,z0) 和平面 Ax+By+Cz+D=0 ，那么这一点到平面的距离为
d=A2+B2+C2∣Ax0+By0+Cz0+D∣该怎么推理呢？我们假定一点 P1 在平面上，那么
d=∣P1P0∣cosθ=∣n∣∣P1P0⋅n∣展开后对上式的分母加上并减去一个D，就可以消掉一组坐标对应的项，然后得到结果
