两只鸽子

公告

这个网站是从2026年的情人节开始建立的，望周知

两只鸽子

公告

这个网站是从2026年的情人节开始建立的，望周知

标签

423 字

1 分钟

微积分下 01 - 微分方程

2026-03-15

/

表示未知函数，未知函数的导数，以及自变量之间关系的方程称为微分方程。其中，出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶。微分方程的作用即是找出满足方程的未知函数

例如方程

x^3y''' + x^2y''-4xy =3x^2

为三阶微分方程

一般地，微分方程的形式是

F(x,y,...,y^{(n)}) = 0

标准形式则为

y^{(n)} = F(x,y,...,y^{(n-1)})

需要注意，对于n阶微分方程， $y^{(n)}$ 是必须出现的，但是阶数更低的项则不一定要出现

如果微分方程的解中含有任意常数，并且常数的个数与微分方程阶数相等，就称这样的解为微分方程的通解

在仍然含有常数的时候，解还不能反映客观事物的规律，为此需要根据一些已有的条件来确定常数值

初值条件#

为了确定常数值，需要有一些条件，为了使得一阶微分方程的解有确定的常数，需要有

x=x_0时,y=y_0

为了使二阶微分方程的常数确定，需要有

x=x_0时,y=y_0,y'=y'_0

其中 $x, y_0, y'_0$ 均为定值

这样的条件就叫初值条件。当确定了常数之后，我们就能得到微分方程的特解。求微分方程满足某个初值条件的解的问题，也叫做初值问题

实际上，微分方程的解的图形是一条曲线，称为微分方程的积分曲线，初值问题的几何意义就是求微分方程的通过点 $(x_0,y_0)$ 的那条积分曲线

微积分下 01 - 微分方程

作者

两只鸽子

发布于

2026-03-15

许可协议

部分信息可能已经过时

ハトヤ