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微积分下 02 - 可分离变量的微分方程

2026-03-15

学习笔记

学习

/

数学

欧拉迭代算法#

对于标准微分方程，初值确定时，它一定有且仅有唯一解，可以计算其数值近似解

\tilde{y}_{1}=y_0+y'_0(x_1-x_0),以此类推

特解#

我们已经说明过特解，但是它有一些其他的要求。特解必须是连续的，譬如说，特解不可以是 $\ln{|x|}$

空气净化模型#

现在有体积为 $V$ 的空气在容器中，在0时刻，有 $C_{CO_2} = \rho_0$ ，现在不断加入新鲜空气，注入速度是每秒 $V_0$ 体积，其 $C_{CO_2} = \rho_1$ ，并且假定空气不被压缩，注入多少就排出多少，空气的混合会迅速完成。现在求容器中 $CO_2$ 浓度变化规律

对于从 $t \to t+dt$ 的极短时间中，注入的二氧化碳质量为 $dt V_0 \rho_1$ ，排出的二氧化碳质量为 $dtV_0 \bar{\rho}(t, dt)$

dt \to 0, 二氧化碳变化量即为 dtV_0\rho_1 - dtV_0\rho(t) = Vd\rho, d\rho为浓度的变化量

所以浓度变化率 \frac{d\rho}{dt}=\frac{V_0}{V}(\rho_1-\rho(t))

可分离变量的微分方程#

微分方程大多是不可解的，可解的具有一定的特性。我们在这里讨论一阶微分方程的解法

y'=f(x,y)

可分离变量的微分方程可以转化为如下形式

y'=P(x)Q(y)

于是有

\frac{dy}{dx}=P(x)Q(y)

观察不难发现，若Q(y)=0有解， $y_1...y_n$ 微分方程就有许多水平特解 $y=y_1...$

若Q(y)没有零点，那么我们进行如下变换

\frac{dy}{Q(y)}=P(x)dx

此时对于两端取不定积分，就可以得到解

\int\frac{dy}{Q(y)}=\int P(x)dx

F(y)=G(x)+C

之后算出常数C，最后得出 $y=\phi (x)$ 即可

有时也可以取定积分，对于初值条件 $(x_0, y_0)$ ，若 $Q(y_0) \neq 0$ 可以计算定积分

\int_{x_0}^{x}\frac{dy}{Q(y)}=\int_{y_0}^{y} P(x)dx

实际上，不存在Q(y)有零点也有非零点的情况，这会使得解不符合解的唯一性

对于通解，我们需要涵盖所有情况，因此可以出现绝对值等不连续的形式，而对于特解才有需要连续的要求

实际上，通解常常不能涵盖所有情况，因此也存在一些例外的特解，通常来自我们在求解过程中增加的一些限定，比如使某个变量不能等于0

例题:

xdy=ydx

\begin {align} x \neq 0, y \neq 0, \frac{dy}{y} &= \frac{dx}{x}\\ \ln{|y|}&=\ln{|x|} + C\\ 取指数, |y| &= e^C|x|\\ 也就是 y &= \pm e^Cx\\ 因此 y &= Cx (C \neq 0)\\ x = 0, y = 0也满足这一条件 & ,也符合y=Cx\\ 同理我们也知道x=C_1y是微分方程的解,&因此微分方程的解是任意过原点的直线 \end {align}

有时候，我们并不能得到可以很好地分离的微分方程，如果结构合适，我们也可以使用换元法

例题:

求\frac{dy}{dx} = \sin^2{(x-y+1)}的通解

\begin {align} 令u&=x-y+1\\ 则有y&=x+1-u\\ 故\frac{dy}{dx}=1-u'&=\sin^2{u}\\ \frac{du}{dx}=u'&=\cos^2{u}\\ \frac{du}{\cos^2{u}}&=dx\\ \tan{u}&=x+C \end {align}

微积分下 02 - 可分离变量的微分方程

https://hatoya-doublepigeonblog.pages.dev/posts/微积分下_02_-_可分离变量的微分方程/

作者

两只鸽子

发布于

2026-03-15

许可协议

CC BY-NC-SA 4.0

部分信息可能已经过时

微积分下 01 - 微分方程

微积分下 04 - 可降阶的高阶微分方程

ハトヤ

欧拉迭代算法#

特解#

空气净化模型#

可分离变量的微分方程#