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微积分下 22 -对面积的曲面积分

2026-08-12

学习

微积分

/

数学

之前我们通过线密度对直线积分得到了质量，同样地，如果我们有面密度，然后把一个曲面无限分割，然后用切平面代表小曲面，就可以积分从面密度得到质量

m=\lim_{\lambda\to 0}\sum_{i=1}^n \mu(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\Delta S_i

实际上，要得到这一结论，要求曲面是光滑的，于是我们定义对面积的曲面积分

在光滑曲面 $\Sigma$ 上， $f(x,y,z)$ 在 $\Sigma$ 上有界，将此曲面分成n块 $\Delta S_i$ ，并且在每个小块上取任意一点 $(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)$ ，做上面的求和并取曲面直径最大值 $\lambda \to 0$ 时的极限时，这一极限总是存在，并且与曲面的划分方法和点的取法无关，那么就称此极限为函数 $f(x,y,z)$ 在曲面 $\Sigma$ 上对面积的曲面积分或第一类曲面积分，记作

\iint_\Sigma f(x,y,z)dS=\lim_{\lambda\to 0}\sum_{i=1}^n \mu(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\Delta S_i

其中 $\Sigma$ 称为积分曲面， $f(x,y,z)$ 为被积函数

第一类曲面积分的求解方法#

我们由被积函数 $f(x,y,z)$ ，积分曲面 $\Sigma$ 由方程 $z=z(x,y)$ 给出，于是曲面上的任意一点的坐标就可表示为

\vec r =(x,y,z(x,y))

我们考虑 $dS$ 在xOy面上的投影 $dA$ ，这两个平面的夹角就是其法向量夹角或法向量夹角的补角，也就是 $dS$ 的法向量与z轴的夹角，由 $z=z(x,y)$ 得到 $F(x,y,z)=z-z(x,y)=0$ ，则法向量为

\vec n=(-\frac{\partial z}{\partial x},-\frac{\partial z}{\partial y},1)

其与沿着z轴正方向的夹角余弦就为

\cos\gamma=\frac{1}{\sqrt{1+(\frac{\partial z}{\partial x})^2+(\frac{\partial z}{\partial y})^2}}

dA=dxdy=dS\cos\gamma

于是

dS=\frac{1}{\cos\gamma}dA=\sqrt{1+(\frac{\partial z}{\partial x})^2+(\frac{\partial z}{\partial y})^2}dxdy

由于我们在这一过程中将 $dS$ 映射到了xOy面上，那么其积分区域也映射到xOy面上，我们就得到

\iint_\Sigma f(x,y,z)dS=\iint_{D_{xy}}f(x,y,z(x,y))\sqrt{1+(\frac{\partial z}{\partial x})^2+(\frac{\partial z}{\partial y})^2}dxdy

这就是对面积的曲面积分化为二重积分的求解公式

微积分下 22 -对面积的曲面积分

https://hatoya-doublepigeonblog.pages.dev/posts/微积分下_22_-对面积的曲面积分/

作者

两只鸽子

发布于

2026-08-12

许可协议

CC BY-NC-SA 4.0

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第一类曲面积分的求解方法#