隐函数存在定理#

如果 $F(x,y)$ 在点 $P(x_0,y_0)$ 的某一邻域内有连续偏导数，并且 $F(x_0,y_0)=0$, $F(x_0,y_0) \neq 0$ ，那么在P的某一邻域内就存在唯一一个连续且有连续导数的 $y=f(x)$ ，并且有

这就是隐函数的求导公式

同样，它可以推广到三元

如果 $F(x,y,z)$ 在点 $P(x_0,y_0,z_0)$ 的某一邻域内有连续偏导数，并且 $F(x_0,y_0,z_0)=0$, $F_z(x_0,y_0,z_0) \neq 0$ ，那么在P的某一邻域内就存在唯一一个连续且有连续偏导数的 $z=f(x,y)$ ，满足 $z_0=f(x_0,y_0)$ 并且有

有

由于

即有

或者我们也可以求微分，例如

由于在对x求偏导时，其他的量视为常量，而y与x没有关联，所以 $\frac{\partial y}{\partial x} = 0$ ，就有了我们的式子

方程组的情形#

我们进一步推广，不仅增加方程中的变量数，而且增加方程数，考虑

这时候一般只有两个变量是独立变化的，于是方程组就可以确定两个二元函数，然后我们有如下的隐函数存在定理

若 $F(x,y,u,v),G(x,y,u,v)$ 在 $P(x_0,y_0,u_0,v_0)$ 的某一邻域内有对于各个变量的连续偏导数，并且 $F(x_0,y_0,u_0,v_0)=0,G(x_0,y_0,u_0,v_0)=0$

这时候，我们使用微分形式求解偏导数

因为要求对 $x$ 的偏导，令 $dy = 0$，并同除以 $dx$

解这个二元一次方程组（用克莱姆法则）