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微积分下 03 - 齐次方程与一元线性方程

2026-03-15

学习笔记

学习

/

数学

齐次方程#

如果一阶微分方程可以化为

\frac{dy}{dx} = \phi (\frac{y}{x})

就称其为齐次方程，通常来自于

P(x,y)dx=Q(x,y)dy,P(x,y),Q(x,y)是同次数的齐次多项式

这时我们只需进行两步处理即可

\frac{dy}{dx}=\frac{P(x,y)}{Q(x,y)}

再对分式上下同时除一个变量的若干次方，就大功告成了

对于齐次方程本身，我们令

\frac{y}{x} = u,即有y=ux

于是y'=u+u'x=\phi{(u)}

之后求解即可

例题1:#

求(y^2-2xy)dx+x^2dy=0的通解

\begin {align} \frac{dy}{dx} = -\frac{y^2-2xy}{x^2} &= -(\frac{y}{x})^2+2\frac{x}{y}\\ 令u &= \frac yx(x\neq0)\\ 有\frac{du}{dx}x&=-u^2+u\\ \frac{1}{-u^2+u}du&=\frac{1}{x}dx\\ 显然\frac{1}{-u^2+u}=\frac{1}{u(1-u)}&=\frac{1}{u}+\frac{1}{1-u}\\ 所以取积分有\ln|{\frac{1-u}{u}}|&=\ln{|x|}+C\\ \frac{1-u}{u}&=Cx(C\neq0) \end {align}

一阶线性微分方程#

一阶线性方程的积分因子#

对于标准形式的一阶线性微分方程

y'+P(x)y=Q(x)

想要求解，我们需要对其进行积分。然而，这一方程左边并没有现成的反导数，所以我们没办法积分。那我们有可能找到一个 $u(x)$ 乘在上式子两侧，来使左侧的式子变为两个函数乘积的导数呢？

现在我们有

u(x)y'+u(x)P(x)y=u(x)Q(x)

这时我们已经有了 $[u(x)y]'$ 的一部分了，要想左式恰好等于 $[u(x)y]'$ 只需要满足 $u'(x)y=u(x)P(x)y$ 即可，也就是 $u'(x)=u(x)P(x)$ ，现在我们就可以开始求 $u(x)$ 了

\begin {aligned} u=u(x), \frac{du}{dx}&=uP(x)\\ 于是\frac{du}{u}&=P(x)dx\\ 积分有\ln{|u|}&=\int{P(x)dx} + C\\ 取指数有u(x)&=e^{\int{P(x)dx}} \end {aligned}

这就是积分因子的公式了

u(x)=e^{\int{P(x)dx}}

可能你注意到了，我们直接去掉了绝对值，而且没有做任何额外的事情，不过这样做是完全合法的，为什么呢？

\begin {aligned} \ln{|u|}&=\int{P(x)dx}+C\\ 积分就有|u|&=e^Ce^{\int{P(x)dx}}\\ 现在去掉绝对值，&右侧加上一个\pm号，于是我们定义\\ K&=\pm e^C, K就即为非零实数\\ 于是u&=Ke^{\int{P(x)dx}} \end {aligned}

这样我们就求出了积分因子的通解，这时候我们回代

(Ke^{\int{P(x)dx}})y'+(Ke^{\int{P(x)dx}})P(x)y=(Ke^{\int{P(x)dx}})Q(x)

可以看到， $K$ 在每一项前都存在，可以直接拿出，所以我们就不需要这个常数了，令它等于1即可。毕竟我们不是在寻找通解，而是在寻找符合 $u'(x)=u(x)P(x)$ 的特解

有了 $u(x)$ ，就可以积分了

u(x)y=\int{u(x)Q(x)dx}+C

然后我们就得到了 $y$ 的通解公式

y=\frac{1}{u(x)}(\int{u(x)Q(x)dx}+C)

至此，我们就可以解决一阶线性方程的问题了

Euler公式#

e^{i\theta}=\cos{\theta}+i\sin{\theta}

兑

以下的内容是不完整的，因为我们不考

伯努利方程#

可化为齐次的一阶线性方程#

方程

\frac{dy}{dx} = \frac{ax+by+c}{a_1x+b_1y+c_1}

在 $c=c_1=0$ 时候是齐次的，否则不是。但是在它是非齐次的时候，也可以通过一些变换来变换为齐次的

微积分下 03 - 齐次方程与一元线性方程

https://hatoya-doublepigeonblog.pages.dev/posts/微积分下_03_-_齐次方程与一元线性方程/

作者

两只鸽子

发布于

2026-03-15

许可协议

CC BY-NC-SA 4.0

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微积分下 01 - 微分方程

ハトヤ

齐次方程#

例题1:#

一阶线性微分方程#

一阶线性方程的积分因子#

Euler公式#

伯努利方程#

可化为齐次的一阶线性方程#