接下来我们讲述对坐标的曲面积分，也就是第二类曲面积分的设定
通常曲面都是双侧的，例如由 z = z ( x , y ) z=z(x,y) z = z ( x , y ) z = z ( x , y ) z=z(x,y) z = z ( x , y ) n ⃗ \vec n n n ⃗ \vec n n
这种取定了法向量则曲面的侧也取定的曲面，称为有向曲面
那么，对于有向曲面 Σ \Sigma Σ Δ S \Delta S Δ S x O y xOy x O y ( Δ σ ) x y (\Delta \sigma)_{xy} ( Δ σ ) x y Δ S \Delta S Δ S γ \gamma γ cos γ \cos\gamma cos γ Δ S \Delta S Δ S x O y xOy x O y ( Δ S ) x y (\Delta S)_{xy} ( Δ S ) x y
( Δ S ) x y = { ( Δ σ ) x y , cos γ > 0 − ( Δ σ ) x y , cos γ < 0 0 , cos γ ≡ 0 (\Delta S)_{xy}=\begin {cases}
(\Delta\sigma)_{xy}, \cos\gamma > 0\\
-(\Delta\sigma)_{xy},\cos\gamma < 0\\
0, \cos\gamma \equiv 0
\end {cases} ( Δ S ) x y = ⎩ ⎨ ⎧ ( Δ σ ) x y , cos γ > 0 − ( Δ σ ) x y , cos γ < 0 0 , cos γ ≡ 0 通过类似的方式，我们也可以定义出 Δ S \Delta S Δ S y O z , z O x yOz, zOx y O z , z O x
然后我们考虑一个流量 ，有一种不可压缩的流体稳定流动 (即其流动速度不随时间而变化) ，其速度场由
v ⃗ ( x , y , z ) = ( P ( x , y , z ) , Q ( x , y , z ) , R ( x , y , z ) ) \vec v(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)) v ( x , y , z ) = ( P ( x , y , z ) , Q ( x , y , z ) , R ( x , y , z )) 给出，然后将 Σ \Sigma Σ Δ S i \Delta S_i Δ S i Σ \Sigma Σ v ⃗ \vec v v Δ S i \Delta S_i Δ S i n ⃗ \vec n n
Δ Φ i = Δ S i v ⃗ i ⋅ n ⃗ i \Delta \Phi_i=\Delta S_i\vec v_i\cdot \vec n_i Δ Φ i = Δ S i v i ⋅ n i 这一流量具有正负，如果是负数就说明流向与 n ⃗ \vec n n
那么总流量
Φ = ∑ i = 1 n Δ Φ i = ∑ i = 1 n v ⃗ ( ξ i , η i , ζ i ) n ⃗ i Δ S i \Phi = \sum_{i=1}^n \Delta \Phi_i=\sum_{i=1}^n\vec v(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\vec n_i\Delta S_i Φ = i = 1 ∑ n Δ Φ i = i = 1 ∑ n v ( ξ i , η i , ζ i ) n i Δ S i 将其记作
∬ Σ v ⃗ ⋅ n ⃗ d S \iint_\Sigma \vec v\cdot \vec ndS ∬ Σ v ⋅ n d S 其中 n ⃗ = ( cos α , cos β , cos γ ) \vec n = (\cos\alpha,\cos\beta, \cos\gamma) n = ( cos α , cos β , cos γ ) v ⃗ ⋅ n ⃗ = P cos α + Q cos β + R cos γ \vec v \cdot \vec n=P\cos\alpha +Q\cos\beta +R\cos\gamma v ⋅ n = P cos α + Q cos β + R cos γ
我们再考虑之前的投影，由于曲面选取的极小，那么其在面上的投影就可以表示为
d y d z = d S cos α , 投影到 y O z 面 d z d x = d S cos β , 投影到 z O x 面 d x d y = d S cos γ , 投影到 x O y 面 \begin {aligned}
dydz=dS\cos\alpha,投影到yOz面\\
dzdx=dS\cos\beta,投影到zOx面\\
dxdy=dS\cos\gamma,投影到xOy面
\end {aligned} d y d z = d S cos α , 投影到 y O z 面 d z d x = d S cos β , 投影到 z O x 面 d x d y = d S cos γ , 投影到 x O y 面 在这里要注意积分次序是不能变化的，因为其有向 ，
然后我们就得到了第二类曲面积分的表达
∬ Σ P d y d z + Q d z d x + R d x d y \iint_\Sigma Pdydz+Qdzdx+Rdxdy ∬ Σ P d y d z + Q d z d x + R d x d y 如果 Σ \Sigma Σ
∬ Σ P d y d z + Q d z d x + R d x d y = ∬ Σ 1 P d y d z + Q d z d x + R d x d y + ∬ Σ 2 P d y d z + Q d z d x + R d x d y \iint_\Sigma Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=\iint_{\Sigma_1} Pdydz+Qdzdx+Rdxdy +\iint_{\Sigma_2} Pdydz+Qdzdx+Rdxdy ∬ Σ P d y d z + Q d z d x + R d x d y = ∬ Σ 1 P d y d z + Q d z d x + R d x d y + ∬ Σ 2 P d y d z + Q d z d x + R d x d y 计算对坐标的曲面积分# 我们单独求解其中的每一项，然后就是
∬ Σ R ( x , y , z ) d x d y = 1 ∬ D x y R ( x , y , z ( x , y ) ) d x d y \iint_\Sigma R(x,y,z)dxdy=\mathbb{1}\iint_{D_{xy}}R(x,y,z(x,y))dxdy ∬ Σ R ( x , y , z ) d x d y = 1 ∬ D x y R ( x , y , z ( x , y )) d x d y 1 = { 1 , 取上侧，即 cos γ > 0 − 1 , 取下侧 , 即 cos γ < 0 0 , cos γ = 0 \mathbb{1}=\begin {cases}
1,取上侧，即\cos\gamma >0\\
-1,取下侧,即\cos\gamma <0\\
0,\cos\gamma = 0
\end {cases} 1 = ⎩ ⎨ ⎧ 1 , 取上侧，即 cos γ > 0 − 1 , 取下侧 , 即 cos γ < 0 0 , cos γ = 0 对于其他面做同样的处理即可，其中每个余弦向量值大于0的时候，也就是取右侧，取正侧对应的投影是正投影，反之为反投影
实际上我们用第一类曲面积分来计算出了第二类曲面积分，这也是两类曲面积分之间的关系
为了减少混淆，我们还可以使用另一种方法，把第二类曲面积分强行拆成三个二重积分在很多时候是非常糟糕的，于是我们运用一种向量面积微元法 ，直接将第二类曲面积分转化为一个平面上的二重积分
首先我们把单位法向量 n ⃗ \vec{n} n d S dS d S d S ⃗ = n ⃗ d S d\vec{S} = \vec{n} dS d S = n d S
如果曲面的方程写为 z = z ( x , y ) z = z(x,y) z = z ( x , y ) ( − z x , − z y , 1 ) ( -z_x, -z_y, 1 ) ( − z x , − z y , 1 ) (指向上侧) 或 ( z x , z y , − 1 ) ( z_x, z_y, -1 ) ( z x , z y , − 1 ) (指向下侧) ，第一类面积微元 d S = 1 + z x 2 + z y 2 d x d y dS = \sqrt{1 + z_x^2 + z_y^2} \, dxdy d S = 1 + z x 2 + z y 2 d x d y n ⃗ = ± ( − z x , − z y , 1 ) 1 + z x 2 + z y 2 \vec{n} = \frac{\pm(-z_x, -z_y, 1)}{\sqrt{1 + z_x^2 + z_y^2}} n = 1 + z x 2 + z y 2 ± ( − z x , − z y , 1 )
代入 d S ⃗ = n ⃗ d S d\vec{S} = \vec{n} dS d S = n d S
d S ⃗ = ± ( − z x , − z y , 1 ) d x d y d\vec{S} = \pm (-z_x, -z_y, 1) \, dxdy d S = ± ( − z x , − z y , 1 ) d x d y
应当注意，我们最终是对法向量做出要求，不论曲面函数有何种形式，我们保证的只有被投影压缩掉的那一个坐标对应的值为1(相对那一坐标的外侧)或-1(相对那一坐标的内侧)
这时候将这一式子代回到
∬ Σ v ⃗ ⋅ n ⃗ d S = ∬ Σ v ⃗ ⋅ d S ⃗ = ∬ D x y ± v ⃗ ⋅ ( − z x , − z y , 1 ) d x d y \iint_\Sigma \vec v\cdot\vec ndS=\iint_\Sigma \vec v\cdot d\vec S=\iint_{D_{xy}}\pm\vec v\cdot(-z_x,-z_y,1)dxdy ∬ Σ v ⋅ n d S = ∬ Σ v ⋅ d S = ∬ D x y ± v ⋅ ( − z x , − z y , 1 ) d x d y 我们就将第二类曲面积分转换为了一个二重积分，用计算二重积分的方法即可
如果不往 x O y xOy x O y y O z yOz y O z x = f ( y , z ) x=f(y,z) x = f ( y , z ) x x x ( 1 , − x y , − x z ) (1, -x_y, -x_z) ( 1 , − x y , − x z ) ( − 1 , x y , x z ) (-1, x_y, x_z) ( − 1 , x y , x z ) z O x zOx z O x
两类曲面积分的关系# 这种关系也就是
∬ Σ A ⋅ d S ⃗ = ∬ Σ A ⋅ n ⃗ d S \iint_\Sigma A\cdot d\vec S=\iint_\Sigma A\cdot \vec n dS ∬ Σ A ⋅ d S = ∬ Σ A ⋅ n d S 
