单连通区域#

如果在平面区域D内，D内的任意闭曲线围成的部分都属于D，那么D是单连通区域，否则为复连通区域，简单地说，单连通区域就是没有洞的区域

对于平面区域的边界曲线L，我们规定L有正方向，就有了正向边界，当观察者沿着L行走时，D内在他近处的那一部分总是在行走方向的左边，这就是正方向

譬如有一个湖，正方向要求在沿着湖水边界行走时，脚边的那一部分湖水在左侧

格林公式#

若单连通闭区域D由分段光滑的曲线L围成，若函数 $P(x,y), Q(x,y)$ 在D上具有一阶连续偏导数，则有

这就是格林公式，其中L是D的正向边界曲线

有时候我们拿到一个经典向量场，由于其在原点无定义，就需要保证区域D不过原点，通常要做出辅助区域

如果为复连通区域D，那么等式右侧就要包括D的全部正向边界曲线的曲线积分

并且其中

平面上曲线积分与路径无关的条件#

若G是一个区域，P(x,y)，Q(x,y)在这个区域内有一阶连续偏导数，若对于G内指定的两个点A，B，以及在G内从A到B的任意两条曲线 $L_1,L_2$，有等式

成立，也就是

其中 $\bar L_2$ 表示 $L_2$ 的反向

这时候，我们就说在G内的曲线积分与路径无关，进一步说，也就是在G内沿着任意闭合曲线C的曲线积分 $\oint_C Pdx+Qdy=0$

我们将其与格林公式结合，就得到定理：G是一个单连通区域，若P(x,y)，Q(x,y)，在G内有一阶连续偏导数，则曲线积分 $\oint_L Pdx+Qdy$ 在G内与路径无关的充分必要条件是

二元函数的全微分求积#

P(x,y)与Q(x,y)满足什么条件的时候，可以使得 $Pdx+Qdy$ 是一个二元函数 $u(x,y)$ 的全微分呢，对此我们有定理：区域G是一个单连通区域，P(x,y)，Q(x,y)在G内有一阶连续偏导数，那么 $Pdx+Qdy$ 是一个函数 $u(x,y)$ 的全微分的充分必要条件是

在G内恒成立

我们再将这一定理与前一个定理结合，就可以得到一个推论：区域G是一个单连通区域，P(x,y)，Q(x,y)在G内有一阶连续偏导数，那么曲线积分 $\oint_L Pdx+Qdy$ 在G内与路径无关的充分必要条件就是，在G内存在一个 $u(x,y)$ 使得 $du=Pdx+Qdy$

曲线积分的基本定理#

如果曲线积分 $\oint_L \vec F \cdot d\vec r$ 在区域G内与积分路径无关，那么就称向量场 $\vec F$ 为保守场

于是有曲线积分的基本定理为，若 $F(x,y)=P(x,y)\vec i+Q(x,y)\vec j$，P，Q在区域G内连续，并且存在一个数量函数 $f(x,y)$，其梯度恰好有 $\nabla f=F$，则曲线积分 $\oint_L\vec Fd\vec r$ 在G内与路径无关，并且有

其中A,B为始末处的点，这就是曲线积分的基本定理

曲线积分的换元公式#

对坐标的曲线积分#

同样使用全微分公式得到

整理一下，就得到上式为

注意第二类曲线积分是有方向的，L的起点和终点需要与 $\Gamma$ 的起点和终点一一对应

第一类曲线积分的对称性#