现在，假设有一个线密度处处不同的曲线，要求其质量，我们可以将其划分为无数段，然后用每一段上的任一点代表其线密度值，然后得到
m=λ→0limi=1∑nμ(ξi,ηi)Δsi
于是我们定义，L为xOy面内的一个光滑曲线弧，函数 f(x,y) 在L上有界，在L上插入分点，使其分为n个小段，其中第i段长度为 Δsi， (ξi,ηi) 为第i段上任意一点，然后有极限
λ→0limi=1∑nμ(ξi,ηi)Δsi
当弧段的最大长度 λ→0 时，此极限总是存在，并且与 L 的划分方式和 (ξi.ηi) 的取法无关，那么就称此极限为 f(x,y) 在曲线弧L上对弧长的曲线积分，或第一类曲线积分，记作
∫Lf(x,y)ds=λ→0limi=1∑nf(ξi,ηi)Δsi
其中f(x,y)称为被积函数，L称为积分弧段
定理：光滑曲线，并且有x(t)，y(t)，自变量t与曲线上的点P(t)一一对应，或者仅在有限个点上不为一一对应，一定可求长；也就是x’，y’在区间上连续，则其在此区间上可求长
第一类曲线积分的计算方法#
L有参数方程为
{x=ϕ(t)y=ψ(t)其中 ψ(t),ϕ(t) 在 [α,β] 上有一阶连续导数，并且 ψ′2(t)+ϕ′2(t)=0，则第一类积分存在且
∫Lf(x,y)ds=∫αβf(ϕ(t),ψ(t))ϕ′2(t)+ψ′2(t)dt这就是第一类曲线的计算公式
如果使用极坐标，令 x=rcosθ,y=rsinθ，其中 r=r(θ),α≤θ≤β 且 α<β，就有
∫Lf(x,y)ds=∫αβf(rcosθ,rsinθ)r2(θ)+r′2(θ)dθ 
