无条件极值#

“无条件”即，这里的极值对于函数的自变量，除了限制在定义域内外无其他条件

对于定义在 $D$ 的函数 $z=f(x,y)$，如果存在 $D$ 的内点 $P_0(x_0,y_0)$，其某一邻域 $U(P_0)\subset D$ ，使得对于对于该邻域内异于 $P_0$ 的任何点 $(x,y)$ 都有

那么就称 $f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 有极大值 $f(x_0,y_0)$ ，$P_0$ 称为函数的极大值点

如果

那么则为极小值和极小值点

极大值和极小值统称极值，取得极值的点称为极值点

定理笑传之取得极值点的必要条件，函数在该点的偏导数均为0，也有全微分为0，即梯度为0，$\nabla f(x_0,y_0)=0$，也就是 $P_0$ 是二元函数的一个驻点

二元函数的二阶泰勒展开：$f(x,y)=f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial f}{\partial y}\Delta y+\frac {1}{2!}(\frac{\partial^2f}{\partial x^2}\Delta x^2+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\Delta y^2 +2\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}\Delta x\Delta y)$

定理笑传之取得极值点的充分条件，我们设置行列式

如果 $D > 0$，那么有极值， $A<0$ 时有极大值，$A>0$ 时为极小值

如果 $D<0$，那么没有极值

如果 $D=0$，那么没法通过这种方法判断有无极值，需要另作判断

条件极值#

如果在函数的自变量上还施加了附加条件，那么就叫条件极值，可以表示为 $z=f(x,y)$ 在约束条件 $\phi(x,y)=0$ 下的极值