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两只鸽子
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这个网站是从2026年的情人节开始建立的，望周知
795 字
2 分钟
微积分下 15 - 多元函数微分学的几何应用
2026-08-05
学习
微积分
/
数学

我们由空间曲线 LL 的参数方程为

{x=x(t)y=y(t)z=z(t)\begin {cases} x=x(t)\\ y=y(t)\\ z=z(t) \end {cases}

也可以记作向量形式

r⃗=xi⃗+yj⃗+zk⃗\vec r=x\vec i+y\vec j+z\vec k f(t)=x(t)i⃗+y(t)j⃗+z(t)k⃗f(t)=x(t)\vec i +y(t)\vec j+z(t)\vec k

那么就有了向量方程

r⃗=f(t)∈[α,β]\vec r=f(t)\in[\alpha, \beta]

这样就确定了一个映射，将每一个在定义域 DD 内的t映射为一个向量 r⃗\vec r ，此时称映射 f:D→Rf:D\to R 为一元向量值函数，记作

r⃗=f(t),t∈D\vec r=f(t), t\in D

此时数集 DD 称为函数的定义域，tt 为自变量且为实数， r⃗\vec r 为因变量且为向量

也可以表示为分量函数形式 f(t)=f1(t)i⃗+f2(t)j⃗+f3(t)k⃗f(t)=f_1(t)\vec i+f_2(t)\vec j+f_3(t)\vec k

极限#

f(t)f(t) 在 t0t_0 的某一去心邻域内有定义，如果存在一个常向量 r⃗0\vec r_0 ，对于任意正数 ϵ\epsilon 总存在正数 δ\delta 使得当 0<∣t−t0∣<δ0<|t-t_0|<\delta 时，f(t)f(t) 满足

∣f(t)−r⃗0∣<ϵ|f(t)-\vec r_0|<\epsilon

那么 r⃗0\vec r_0 就称为 t→t0t\to t_0 时 f(tf(t) 的极限，记作

lim⁡t→t0f(t)=r⃗0\lim_{t\to t_0}f(t)=\vec r_0

极限存在的充分必要条件为，t→t0t\to t_0 时，f(t)f(t) 的分量函数的极限都存在，这时候

lim⁡t→t0f(t)=(lim⁡t→t0x(t),lim⁡t→t0y(t),lim⁡t→t0z(t))\lim_{t\to t_0}f(t)=(\lim_{t\to t_0}x(t),\lim_{t\to t_0}y(t),\lim_{t\to t_0}z(t))

连续#

如果

lim⁡t→t0f(t)=f(t0)\lim_{t\to t_0}f(t)=f(t_0)

那么向量值函数 f(t)f(t) 在 t0t_0 连续，这一连续的充分必要条件为其三个分量函数在 t0t_0 点都连续

如果 f(t)f(t) 在 D1D_1 点上的每一处都连续，那么称 f(t)f(t) 是 D1D_1 上的连续函数

导向量#

如果 r⃗=f(t)\vec r=f(t) 在 t0t_0 的某一邻域内有定义，如果

lim⁡Δt→0ΔrΔt=lim⁡Δt→0f(t0+Δt)−f(t0)Δt\lim_{\Delta t\to 0}\frac {\Delta r}{\Delta t}=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{f(t_0+\Delta t)-f(t_0)}{\Delta t}

存在，那么就称其为向量值函数 r⃗=f(t)\vec r=f(t) 在 t0t_0 处的导数，或导向量，记作

f′(t0)或dr⃗dt∣t=t0f'(t_0)或\frac{d\vec r}{dt}|_{t=t_0}

如果向量值函数在某一区间内的每一处都存在导向量，那么就称其在这一区间可导

Δt>0\Delta t>0 时，求出的导向量指向t增加时曲线上的点M在这点时的运动方向，小于0时则相反

同样，向量值函数 f(t)f(t) 在 t0t_0 可导的充分必要条件是，其三个分量函数都在 t0t_0 可导

这一导数的求法为

f′(t0)=f1′(t0)i⃗+f2′(t0)j⃗+f3′(t0)k⃗f'(t_0)=f_1'(t_0)\vec i+f_2'(t_0)\vec j+f_3'(t_0)\vec k

向量值函数导数的运算法则与数量函数的导数运算法则形式相同

空间曲线的切线与法平面#

切线#

空间曲线的切向量就是其导向量

v⃗=(x′(t0),y′(t0),z′(t0))\vec v=(x'(t_0), y'(t_0),z'(t_0))

切线即表示为

x−x0x′(t0)=y−y0y′(t0)=z−z0z(t0)\frac{x-x_0}{x'(t_0)}=\frac{y-y_0}{y'(t_0)}=\frac{z-z_0}{z(t_0)}

法平面#

法平面就是过该点且垂直于曲线切线的平面，其法向量就是曲线在这一点的导向量，平面方程即为

x′(t0)(x−x0)+y′(t0)(y−y0)+z′(t0)(z−z0)=0x'(t_0)(x-x_0)+y'(t_0)(y-y_0)+z'(t_0)(z-z_0)=0

一般形式方程的切线求法#

对于方程组同时求隐函数的微分形式，然后将微分改写为宏观形式 (dx→x−x0)(dx\to x-x_0)

方向导数与梯度#

方向导数#

对于射线 ll

{x=x0+tcos⁡αy=y0+tcos⁡β(t≥0)\begin {cases} x=x_0+t\cos\alpha \\ y=y_0+t\cos\beta \end{cases} (t\ge0)

方向导数表示函数沿任意一个指定方向的变化率，记作

∂f∂l∣(x0,y0)=lim⁡t→0+f(x0+tcos⁡α,y0+tcos⁡β)−f(x0,y0)t\frac{\partial f}{\partial l}|_{(x_0,y_0)}=\lim_{t\to 0^+}\frac{f(x_0+t\cos \alpha,y_0+t\cos\beta)-f(x_0,y_0)}{t}

如果 f(x,y)f(x,y) 在 P0(x0,y0)P_0(x_0,y_0) 可微，那么这一方向导数就存在，其中 cos⁡α,cos⁡β\cos\alpha, \cos\beta 称为方向 ll 的方向余弦

计算方式为

∂f∂l=fx(x0,y0)cos⁡α+fy(x0,y0)cos⁡β\frac{\partial f}{\partial l}=f_x(x_0,y_0)\cos\alpha+f_y(x_0,y_0)\cos\beta

注意 ll 必须是一个单位向量，如果给出的不是单位向量就要先单位化！

梯度#

对于在平面区域 DD 上有一阶连续偏导数的函数 f(x,y)f(x,y) ，对于其上一点 P0(x0,y0)P_0(x_0,y_0) ，就有一个向量

fx(x0,y0)i⃗+fy(x0,y0)j⃗f_x(x_0,y_0)\vec i+f_y(x_0,y_0)\vec j

这个向量就称为函数在这一点的梯度

记作

gradf(x0,y0)=∇f(x0,y0)=fx(x0,y0)i⃗+fY(x0,y0)j⃗gradf(x_0,y_0)=\nabla{f(x_0,y_0)}=f_x(x_0,y_0)\vec i+f_Y(x_0,y_0)\vec j

如果是三元的，那么

∇f(x0,y0,z0)=fx(x0,y0,z0)i⃗+fy(x0,y0,z0)j⃗+fz(x0,y0,z0)l⃗\nabla{f(x_0,y_0,z_0)}=f_x(x_0,y_0,z_0)\vec i+f_y(x_0,y_0,z_0)\vec j+f_z(x_0,y_0,z_0)\vec l

梯度的几何意义#

在二维平面中，梯度垂直于过该点的等值线，等值线也就是等高线，表达式为

f(x,y)=C $$在三维空间中即垂直于等值面，也就是级别面

f(x,y,z)=C

## 方向导数与梯度的关系 如果函数 $f(x,y)$ 是可微的，那么其沿任意方向 $l$ 的方向导数，就是梯度向量与此方向的单位向量之内积

\frac{\partial f}{\partial l}=\nabla{f(x_0,y_0)}\cdot \vec e_l=|\nabla{f(x_0,y_0)}|\cos\theta

从几何意义上看，如果 $\theta=0$ ，梯度与方向一致，方向导数取得最大值；为 $\pi$ 时梯度与方向相反，方向导数取最小；为 $\frac \pi 2$ 时梯度与方向垂直，方向导数就是0 # 切平面 现在有空间曲面 $F(x,y,z)=0$ ，只需找到其在一点的法向量，就不难确定一个切平面了 空间曲面本质上是三元函数 $\omega = F(x,y,z)$ 的一个等值面，由梯度的几何意义我们知道，其法向量就是空间曲面在这一点的梯度，于是

\vec n=\nabla F(x,y,z)=(F_x,F_y,F_z)

## 切平面的求法 ### 隐函数形式 对于隐函数形式的 $F(x,y,z)=0$，其在 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 切平面方程为

F_x(P_0)(x-x_0)+F_y(P_0)(y-y_0)+F_z(P_0)(z-z_0)=0

法线方程为法线方程为

\frac{x-x_0}{F_x(P_0)}=\frac{y-y_0}{F_y(P_0)}=\frac {z-z_0}{F_z(P_0)}

如果一项的分母为零，那说明发现无法垂直于该坐标轴，分子对应的式子也为0，去掉即可 ### 显函数形式 对于 $z=f(x,y)$ ，我们就有 $F(x,y,z)= f(x,y)-z=0$ ，此时

F_x=f_x, F_y=f_y, F_z=-1

其在 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 切平面方程为

f_x(P_0)(x-x_0)+f_y(P_0)(y-y_0)-(z-z_0)=0

法线方程为法线方程为

\frac{x-x_0}{f_x(P_0)}=\frac{y-y_0}{f_y(P_0)}=\frac {z-z_0}{-1}

>∗注意对曲线求的是对参数的一元导数，对曲面求的是偏导数∗ > *注意对曲线求的是对参数的一元导数，对曲面求的是偏导数*
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微积分下 15 - 多元函数微分学的几何应用
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作者
两只鸽子
发布于
2026-08-05
许可协议
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