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两只鸽子
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这个网站是从2026年的情人节开始建立的，望周知
837 字
2 分钟
微积分下 13 - 全微分与多元复合函数的求导法则
2026-08-03
学习
微积分
/
数学

求全微分的时候，自变量均有增量，那么求偏微分时，仅一个变量有增量，称为偏增量

其基础形式为

Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)  (ρ=Δx2+Δy2)\Delta z=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho) \ \ (\rho=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2})

如果函数 z=f(x,y)z=f(x,y) 在点 (x,y)(x,y) 可微分，那么该函数在这一点的偏导数 ∂z∂x\frac{\partial z}{\partial x} ，∂z∂y\frac{\partial z}{\partial y} 必定存在（必要），且全微分为

dz=∂z∂xdx+∂z∂ydydz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy

要证明可微，只需证明

Δz−fx(x0,y0)Δx−fy(x0,y0)Δyρ=0\frac{\Delta z- f_x(x_0,y_0)\Delta x - f_y(x_0,y_0)\Delta y}{\rho}=0

实际上的做法是，令 Δz=f(x,y)−f(x0,y0)\Delta z = f(x,y) - f(x_0,y_0)，使用极坐标形式，令 x=ρcos⁡θ,y=ρsin⁡θx=\rho\cos\theta, y=\rho\sin\theta，然后代入上式，看看 ρ\rho 能否将极限

lim⁡ρ→0f(x0+ρcos⁡θ,y0+ρsin⁡θ)−f(x0,y0)−(fx(x0,y0)ρcos⁡θ+fy(x0,y0)ρsin⁡θρ\lim_{\rho\to 0}\frac{f(x_0+\rho\cos\theta,y_0+\rho\sin\theta)-f(x_0,y_0)-(f_x(x_0,y_0)\rho\cos\theta+f_y(x_0,y_0)\rho\sin\theta}{\rho}

限制为零，如果 θ\theta 会导致极限是变化的，那么就不可微

这与上文中的高阶无穷小有关，其中，

fx(x0,y0)=lim⁡Δx→0f(x0+Δx)−f(x0,y0)Δxf_x(x_0,y_0)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}

偏导数要使用定义求解

**如果 f=(x,y)f=(x,y) 的偏导数在 (x,y)(x,y) 连续，那么函数在该点可微分(充分)

对于三元函数也是一样的，使用叠加定理即可

du=∂u∂xdx+∂u∂ydy+∂u∂zdzdu=\frac{\partial u}{\partial x}dx+\frac{\partial u}{\partial y}dy+\frac{\partial u}{\partial z}dz

偏导数实际上就是函数相对于某个轴的斜率

由二维曲面可以定义出切平面 z=z0+A(x−x0)+B(y−y0)z=z_0+A(x-x_0)+B(y-y_0) ，恰经过 (x0,y0,z0)(x_0,y_0,z_0)

多元复合函数的求导法则#

一元函数与多元函数符合#

如果 u=x(t),v=y(t)u=x(t), v=y(t) 在 tt 可导，函数 z=f(u,v)z=f(u,v) 在 (u,v)(u,v) 由连续偏导数，那么复合函数 z=f[(x(t),y(t)]z=f[(x(t),y(t)] 在 tt 可导，并且

dzdt=∂z∂ududt+∂z∂vdvdt\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{du}{dt}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{dv}{dt}

对于中间变量多于两层的情形，也可以求导，只需使用

dudx=dudtdtdx\frac{du}{dx}=\frac{du}{dt}\frac{dt}{dx}

串行相乘，并行相加

多元函数与多元函数复合#

对于 u=ϕ(x,y),v=ψ(x,y)u=\phi(x,y), v= \psi(x,y) ，其都在(x,y)有对x，y的偏导数存在，并且 z=f(u,v)z=f(u,v) 再对应点 (u,v)(u,v) 有连续偏导数，那么 z=f(ϕ(x,y),ψ(x,y))z=f(\phi(x,y),\psi(x,y)) 在 (x,y)的两个偏导数存在，且

∂z∂x=∂z∂u∂u∂x+∂z∂v∂v∂x\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}∂z∂y=∂z∂u∂u∂y+∂z∂v∂v∂y\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}

我们可以据此推导同一个函数的极坐标和普通导数的偏导数关系

(∂z∂x)2+(∂z∂y)2=(∂z∂ρ)2+1ρ2(∂z∂θ)2(\frac{\partial z}{\partial x})^2+(\frac{\partial z}{\partial y})^2=(\frac{\partial z}{\partial \rho})^2+\frac{1}{\rho^2}(\frac{\partial z}{\partial\theta})^2

并且有

Δz=∂2z∂x2+∂2z∂y2=∂2z∂r2+1r∂z∂r+1r2∂2z∂θ2\Delta z = \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{\partial^2 z}{\partial r^2} + \frac{1}{r} \frac{\partial z}{\partial r} + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 z}{\partial \theta^2}

该如何推导上述结论呢，首先我们得出 (x,y),(ρ,θ)(x,y),(\rho,\theta) 之间的变换关系，于是我们可以在这两组变量之间求导，再使用复合函数的求导法则求导两次即可

复杂情形#

现在有在当前点可求偏导数的 u=ϕ(x,y),v=ψ(y),z=f(u,v)u=\phi(x,y),v=\psi(y), z=f(u,v)，那么

∂z∂x=∂z∂u∂u∂x\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}∂z∂y=∂z∂u∂u∂y+∂z∂v∂v∂y\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}

实际上并没有本质区别，因为在对一个变量求偏导的时候，另一个与当前变量无关的函数可以看作是关于当前变量的常函数

但是如果有类似于 z=f(x,u(x,y))z=f(x,u(x,y)) 的情形，那么

∂z∂x=∂f∂u∂u∂x+∂f∂x⋅1\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial x} \cdot 1

注意在这里，∂z∂x=∂f∂x\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial x} 不是一个含义的，z的是把f(x,(x,y))中的y看作常量求得对x的偏导，而f的是把 f(x,u)f(x,u) 中的u看作常量而求得的对x的偏导，应当加以区分

一个在开区域D上处处可微的函数，并且微分处处为0，那么其为常函数

链式法则：相乘的微分的个数取决于谁通过什么路径影响了当前的偏导变量，例如有一个部分是 u=f(v),v=g(x)u=f(v),v=g(x) ，那么就会出现 ∂f∂u∂u∂v∂v∂x\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x} 这样的一项

全微分形式不变性#

我们发现，对于 z=f(u,v),u=g(x,y),v=p(x,y)z=f(u,v), u=g(x,y), v=p(x,y) ，那么

dz=∂z∂xdx+∂z∂ydydz = \frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy

也就有

dz=(∂z∂u∂u∂x+∂z∂v∂v∂x)dx+(∂z∂u∂u∂y+∂z∂v∂v∂y)dydz=(\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x})dx +(\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y})dy

化简有

dz=∂z∂u(∂u∂xdx+∂u∂ydy)+∂z∂v(∂v∂xdx+∂v∂y)dy=∂z∂udu+∂z∂vdvdz=\frac{\partial z}{\partial u}(\frac{\partial u}{\partial x}dx+\frac{\partial u}{\partial y}dy)+\frac{\partial z}{\partial v}(\frac{\partial v}{\partial x}dx+\frac{\partial v}{\partial y})dy=\frac{\partial z}{\partial u}du+\frac{\partial z}{\partial v}dv

于是我们发现，无论u,v是自变量还是中间变量，z=f(x,y)的全微分形式是一样的，这就是全微分形式不变性

有了这样的求微分方式，我们就可以直接写出一个微分，然后慢慢拆解，而无需手动考虑链式的关系了

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微积分下 13 - 全微分与多元复合函数的求导法则
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作者
两只鸽子
发布于
2026-08-03
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CC BY-NC-SA 4.0

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