一般方程#

空间直线可以看作是平面的交线，于是其可以用两个平面方程的方程组表示

这就是空间直线的一般方程。显然一个直线会被无数个平面经过，但是我们任然只需要给出两个平面，实际上其他平面都可以由这一线性方程组进行初等行变换得到

然而这个方程组不具体，那么我们利用几何性质，垂直于这两个平面的法向量的不就是空间直线的方向向量吗？

于是

就有了直线上任意一点为

参数方程#

参数方程比较直观

方向向量即为 $\vec l =(a,b,c)$

对称式方程#

我们知道，直线可以与另一个向量平行，因此对于 $\vec{P_0P} \parallel \vec a$ ，其中 $\vec a=(a,b,c)$ 有

其中，$a,b,c$ 可以为0，当为0时，其对应的项从等式中去除，且有 $x=x_0(或y,z)$

这里 $\vec a$ 就是直线的方向向量

线面夹角#

直线与其在平面上投影的夹角即为直线于平面的夹角，取锐角，垂直时 (与法向量平行) 取直角，那么对于一个直线的方向向量 $\vec \nu$ 和平面法向量 $\vec n$ ，夹角有

求线面交点#

我们先将直线写为参数方程形式

然后再代入 $Ax+By+Cz+D=0$，就可以算出t，然后得到答案了，非常简易

点到直线距离#

现在知道一点 $P_0$，直线上一个点 $P_1$，以及直线的方向向量 $\vec s$ ，怎么求点到直线的距离呢？如果 $\vec {P_0P_1}$ 与 $\vec s$ 的夹角为 $\theta$ ，那么

求过给定点并且与给定空间直线垂直且相交的空间直线#

由于我们知道了给定空间直线的方向向量与一个点，我们就知道了其上任意一个点的单变量表示，将这个点与给定点连接为向量，我们就知道这一个向量与给定直线的方向向量是垂直的，即内积为0，就可以求解了

求直线在平面上的投影直线#

求面面交线即可，所求直线即为直线与平面的法向量所确立的平面与目标平面的交线

求异面直线间最短距离#

只需求出两直线上的两个点，使得两点形成的直线与原来的两个直线都垂直，这时候两点间距就是最短距离了

或者，我们找出其所在的两个平行平面，然后找出面面距离即可