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微积分下 04 - 可降阶的高阶微分方程

2026-03-15

学习笔记

学习

/

数学

可以降阶的高阶微分方程的基本解决方法是，求出当前最高阶的上一阶的函数。有三种常见的形式

$y^{(n)}=f(x)$ 形#

由于右侧仅含x，我们就可以令 $P=y^{(n-1)}$ ，于是

\frac{dP}{dx}=f(x)

然后有

\begin {aligned} dP &=f(x)dx\\ P&=\int{f(x)dx}+C \end {aligned}

我们就得到了

P=y^{(n-1)}=g(x)

只要不断进行这一步骤，就可以得到最终的解了

$y''=f(x,y')$ 形与# $y''=f(y,y')$ 形#

对于这种形式的二阶微分方程，我们先令

P=y'=\frac{dy}{dx}

于是方程变为

\frac{dP}{dx}=f(x,y')或f(y,y')

特别地，在是 $f(y,y')$ 的情况下，会出现三个变量，于是我们把 $\frac{dP}{dx}$ 写为

P\frac{dP}{dy}

这样就只剩下两个变量了

对其求解我们得到 $P=P(x)$ ，然后有

P=\frac{dy}{dx}=P(x)

这一方程是可分离的，再求解我们就可得出答案

例题 $y''=f(x,y')$ #

求微分方程 $(1+x^2)y'' =2xy'$ 满足 $y|_{x=0} = 1, y'|_{x=0}=3$ 这一初值条件的特解

\begin {aligned} 令P&=\frac{dy}{dx}\\ 原式写为(1+x^2)\frac{dP}{dx}&=2xP\\ 分离有\frac{dP}{P}&=\frac{2x}{1+x^2}dx\\ 积分有\ln{|P|}&=\ln{(1+x^2)}+C\\ 取指数并且去绝对值有P&=K(1+x^2)\\ 代入初值有3&=K\\ 因此\frac{dy}{dx}&=3+3x^2\\ 分离得到dy&=3(1+x^2)dx\\ 积分有y&=3x+x^3+C_1\\ 代入初值有1&=C_1\\ 因此特解即为y&=x^3+3x+1 \end {aligned}

例题 $y''=f(y,y')$ #

求解微分方程 $yy'' -{y'}^2 = 0$

\begin {aligned} 令P&=\frac{dy}{dx}\\ 有yP\frac{dP}{dy}&=P^2\\ 于是\frac{dP}{P}&=\frac{dy}{y}\\ 积分有\ln{|P|}&=\ln{|y|}+C\\ 取指数有P&=Ky\\ \\ 代回有y \frac{dKy}{dx}&=K^2y^2\\ \frac{dy}{y}&=Kdx\\ 积分有\ln{|y|}&=Kx+C\\ \\ y&=C_0e^{Kx} \end {aligned}

可以看到这里稍有不同，有一步将 $P'$ 写为 $P\frac{dP}{dy}$ 的步骤，用于约去一个 $P$

微积分下 04 - 可降阶的高阶微分方程

https://hatoya-doublepigeonblog.pages.dev/posts/微积分下_04_-_可降阶的高阶微分方程/

作者

两只鸽子

发布于

2026-03-15

许可协议

CC BY-NC-SA 4.0

部分信息可能已经过时

微积分下 02 - 可分离变量的微分方程

微积分下 06 - 常系数线性方程

ハトヤ

y(n)=f(x)y^{(n)}=f(x)y(n)=f(x)形#

y′′=f(x,y′)y''=f(x,y')y′′=f(x,y′)形与# y′′=f(y,y′)y''=f(y,y')y′′=f(y,y′)形#

例题 y′′=f(x,y′)y''=f(x,y')y′′=f(x,y′)#

例题 y′′=f(y,y′)y''=f(y,y')y′′=f(y,y′)#

$y^{(n)}=f(x)$ 形#

$y''=f(x,y')$ 形与# $y''=f(y,y')$ 形#

例题 $y''=f(x,y')$ #

例题 $y''=f(y,y')$ #