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两只鸽子
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1033 字
3 分钟
微积分下 26 - 函数项级数
2026-08-16
学习
微积分
/
数学

与常数项级数不同，函数项级数表示为

∑n=1∞un(x)=u1(x)+u2(x)+...+un(x)+...\sum_{n=1}^\infty u_n(x)=u_1(x)+u_2(x)+...+u_n(x)+...

其中函数列定义在 II 上，就称此为定义在 II 上的函数项无穷级数，简称函数项级数

每当给定参数 xx，就会使其变为常数项级数，并且既可以发散也可以收敛，如果收敛，那么就称此时的点 x0x_0 为函数项级数的收敛点，函数项级数的收敛点的全体称为收敛域，如果发散则为发散点，发散点的全体称为发散域

在收敛域上的点，级数有和，且这一和是x的函数，称为函数项级数的和函数 s(x)s(x)

类似于常数项级数地，我们将函数项级数的前n项和记作 sn(x)s_n(x)，就有

lim⁡n→∞sn(x)=s(x)\lim_{n\to \infty}s_n(x)=s(x)

我们再记 rn=s(x)−sn(x)r_n=s(x)-s_n(x) 为函数项级数的余项，其只在收敛域上有意义，并且

lim⁡n→∞rn(x)=0\lim_{n\to \infty}r_n(x)=0

幂级数#

通项形如 un(x)=anxnu_n(x)=a_nx^n 的称为幂级数，对于这样的级数我们有

阿贝尔定理，即，如果级数 ∑n=1∞anxn\sum_{n=1}^\infty a_nx^n 在 x=x0x=x_0 时收敛，那么一切符合 ∣x∣<∣x0∣|x| <|x_0| 的x都可以使得幂级数绝对收敛，如果在 x=x0x=x_0 时发散，那么一切符合 ∣x∣>∣x0∣|x|>|x_0| 的x都可以使得幂级数发散

于是我们推论出，如果 ∑n=1∞anxn\sum_{n=1}^\infty a_nx^n 不仅仅是在 x=0x=0 一个点收敛，也不是在整个数轴上收敛，此时一定有一个 R>0R>0，使得 ∣x∣<R|x|<R 时，幂级数绝对收敛，∣x∣>R|x|>R 时，幂级数发散，∣x∣=R|x|=R 时，则需另作判断，这里 RR 成为幂级数的收敛半径

我们再结合比值审敛法，如果

lim⁡n→+∞∣an+1an∣=ρ\lim_{n\to +\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=\rho

那么幂级数的收敛半径就是

R={1ρ,ρ≠0+∞,ρ=00,ρ=+∞R=\begin {cases} \frac 1 \rho, \rho\neq 0\\ +\infty,\rho=0\\ 0,\rho=+\infty \end {cases}

在收敛域内，幂级数有一些性质

在收敛域内，其部分和 Sn(x)S_n(x) 为收敛域上的连续函数，并且对于任意在收敛域内的 xx 有

∫0x∑n=1∞antndt=∑n=1∞∫0xantndt=∑n=1∞ann+1xn+1\int_0^x \sum_{n=1}^{\infty}a_nt^ndt=\sum_{n=1}^{\infty}\int_0^x a_nt^ndt=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n+1}x^{n+1}

其和 S(x)S(x) 在收敛域上的开区间内可导，且

s′(x)=(∑n=1∞anxn)′=∑n=1∞(anxn)′=∑n=1∞nanxn−1s'(x)=(\sum_{n=1}^{\infty}a_nx^n)'=\sum_{n=1}^{\infty}(a_nx^n)'=\sum_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1}

由于导完我们发现留下的依然是幂级数，我们就可以知道 S(x)S(x) 在这一区间内有任意阶导数

不难发现，幂级数积分了是幂级数，求导了还是幂级数，再由级数的可和性 (有相同收敛性的) 可以知道幂级数相加减还是幂级数，由其柯西乘积知道，两个幂级数的和相乘就会变成另一个幂级数的和，依然是幂级数，可以说幂级数拥有很好的性质

通过这个积分，我们可以通过将一些级数的求导转化为等比数列，再积分得到和的解析表达来求和，例如

要求∑n=1∞(−1)n−1n的和令s(x)=∑n=1∞(−1)n−1nxn那么s′(x)=∑n=1∞(−1)n−1xn−1=11+x(q=−x)于是s(x)=ln(1+x)+C,s(0)=0,C=0于是s(x)=ln(1+x)x=1即为所求情况，s=ln⁡2\begin {aligned} 要求\sum_{n=1}^{\infty}\frac{({-1})^{n-1}}{n}的和\\ 令s(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{({-1})^{n-1}}{n}x^n\\ 那么s'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}({-1})^{n-1}x^{n-1}&=\frac{1}{1+x}(q=-x)\\ 于是s(x)=ln(1+x)+C,&s(0)=0,C=0\\ 于是s(x)=ln(1+x)\\ x=1即为所求情况，s=\ln2 \end {aligned}

要求解 s(x)s(x)，对于通项形如 1nxn\frac{1}{n}x^n 的式子，常常可以逐项求导，导数写为等比数列的无限求和，再积分即可；对于形如 (n+1)xn(n+1)x^n 的式子，常常可以逐项积分，积分写为等比数列的无限求和，再求导即可

s(x)成立是有范围的！一定要注意我们求出的s(x)只在收敛域内有效，因此要标注这个范围！

三角级数#

通项形如 un(x)=ancos⁡nx+bnsin⁡nxu_n(x)=a_n\cos{nx}+b_n\sin{nx} 的称为三角级数

函数展开为幂级数#

函数 f(x)f(x) 能泰勒展开的充分必要条件就是其在泰勒公式中的余项在 n→∞n\to \infty 时为0

f(x)=∑n=0∞f(n)(x0)n!(x−x0)nf(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n

泰勒级数就是使用多项式函数来近似超越函数，例如

f(x)=ex=∑n=0∞f(n)(0)n!(x−0)n=∑n=0∞1n!xn,x∈Rf(x)=e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}(x-0)^n=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}x^n,x\in \mathbb Rsin⁡(x)=∑n=0∞(−1)n(2n+1)!x2n+1,x∈R\sin(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}x^{2n+1},x\in \mathbb Rcos⁡(x)=∑n=0∞(−1)n(2n)!x2n,x∈R\cos(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n)!}x^{2n},x\in \mathbb R

并且可以间接展开，例如

ex2=ey=∑n=0∞1n!yn=∑n=0∞1n!x2ne^{x^2}=e^y=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}y^n=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}x^{2n}

还有

(1+x)m=∑n=0∞m(m−1)(m−2)...(m−n+1)n!xn,x∈(−1,1)(1+x)^{m}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{m(m-1)(m-2)...(m-n+1)}{n!}x^n, x\in(-1,1)

这就是二项式的广义展开式，当 α\alpha 为整数，实际上就是二项式定理

特别地，当 m=−1m=-1 时，m(m−1)...(m−n+1)=−1×−2×...×−n=n!(−1)nm(m-1)...(m-n+1)=-1\times -2\times ...\times -n= n!(-1)^{n}，于是

11+x=∑n=0∞(−1)nxn,x∈(−1,1)\frac{1}{1+x}=\sum_{n=0}^\infty(-1)^nx^n ,x\in (-1,1)

如果上式的 xx 变为 −x-x，形式将更为优雅

11−x=∑n=0∞xn,x∈(−1,1)\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n, x\in(-1,1)

这几个式子就是我们求解级数时可能是用的代数变换的基础，例如

ln⁡(1+x)=∫0x11+xdx=∑n=0∞(−1)nn+1xn+1=∑n=1∞(−1)n−1nxn\ln(1+x)=\int_0^x\frac{1}{1+x}dx=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n+1}x^{n+1}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}x^n

并且由于 x=1x=1 时，右侧级数收敛，x=−1x=-1时候，右侧级数为负项级数且与 1n\frac 1 n 同阶，因此发散，所以

ln⁡(1+x)=∑n=1∞(−1)n−1nxnx∈(−1,1]\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}x^n x\in(-1,1]

还有

11+x2=∑n=0∞(−1)nx2n\frac{1}{1+x^2}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^{2n}

注意，这些展开全都有范围，一定要带上范围

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微积分下 26 - 函数项级数
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作者
两只鸽子
发布于
2026-08-16
许可协议
CC BY-NC-SA 4.0

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