比较审敛法#

如果 $\sum_{i=1}^\infty a_i$ 和 $\sum_{i=1}^\infty b_i$ 都是正项级数，而且 $a_n\le b_n$，那么，如果 $\sum_{i=1}^\infty b_i$ 收敛，则 $\sum_{i=1}^\infty a_i$ 也收敛；反之，如果 $\sum_{i=1}^\infty a_i$ 发散， $\sum_{i=1}^\infty b_i$ 也发散，这就是比较审敛法

“比收敛的小，比发散的大”

我们在之前知道去掉有限项不改变收敛性，于是有推论，如果 $\sum_{i=1}^\infty a_i$，$\sum_{i=1}^\infty b_i$ 都是正项级数，如果 $\sum_{i=1}^\infty b_i$ 收敛，且存在正整数 $N$，使得 $n\ge N$ 时 $a_n \le kb_n$ 成立，那么 $\sum_{i=1}^\infty a_i$ 收敛；反之如果 $\sum_{i=1}^\infty b_i$ 发散，且 $n\ge N$ 时，有 $a_n \ge kb_n$，那么 $\sum_{i=1}^\infty a_i$ 发散

比值审敛法#

还记得等比数列吗？如果一个正项数列是等比的，可以很简易地判断其收敛性，我们可以利用这种思想，将其推广到任意数列

若 $\sum_{i=1}^\infty a_i$ 为正项级数，且

那么 $\rho < 1$ 时级数收敛；$\rho > 1$或 $\lim_{n\to+\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} =\infty$ 时级数发散；$\rho=1$ 时候级数既可能收敛也可能发散，需要另作判断

积分审敛法#

积分是连续的求和，而级数是离散求和，如果我们用积分来表示级数，就是积分判别法

如果 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 单调递减，并且趋近于0，且恒有 $f(x)\ge 0$，$a_n=f(n)$，那么 $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ 收敛的充分必要条件是 $\int_1^\infty f(x)dx$ 收敛

根值审敛法#

还有一个与比值判别法类似的方法，不过我们使用次数，这就是根值审敛法 (柯西判别法) ，我们有正项级数 $\sum_{n=1}^\infty u_n$，如果

如果 $\rho < 1$ 则级数收敛，$\rho > 1$ 则级数发散，$\rho = 1$ 时则无法通过这种方法判断

使用调和级数审敛#

调和级数判别法，p次调和级数就是 $\sum_{n=1}^\infty (\frac 1 n)^p$，在 $p> 1$ 时，这个级数是收敛的，否则发散

运用它，我们可以运用之前的比较审敛法，如果

且 $p > 1$ ，那么 $\sum_{i=1}^\infty a_i$ 收敛

如果

或者

且 $p \le 1$，那么 $\sum_{i=1}^\infty a_i$ 也发散

或者更常规地，直接比较即可，如果 $a_n \le (\frac 1 n)^p$ 且 $p>1$，那么 $\sum_{i=1}^\infty a_i$ 收敛；如果 $a_n\ge (\frac 1 n)^p$ 且 $p\le 1$，那么 $\sum_{i=1}^\infty a_i$ 发散

可能你在想，啊我这样急头白脸比一下就好了可能确实比较无敌，那我缺的p这一块谁来给我补上啊？

在确定p的时候我们只需使用等价无穷小，在 $n\to \infty$ 时将 $a_n$ 化简为一个 $(\frac C n)^p$ 即可

绝对收敛级数的性质#

对于绝对收敛的级数，如果将其任意重排，得到例如 $b_n=a_{f(n)}$ ，得到的级数依然收敛，也就是说，绝对收敛级数具有可交换性

对于绝对收敛的级数 $\sum_{n=1}^\infty a_n, \sum_{n=1}^\infty b_n$，和分别为 $s,\sigma$，那么其柯西乘积

也绝对收敛，且和为 $s\sigma$

条件收敛级数的性质#

对于条件收敛的级数，则 $\forall A\in R$，$\exists$ 一个重排映射 $\sigma$，使得 $\sum_{i=1}^\infty a_{\sigma(i)} =A$，也就是说，其重排之后，和居然可以等于任意实数，太神奇辣