高斯公式#

高斯公式与格林公式类似，它指出了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系

定理的内容为，设空间闭区域 $\Omega$ 由分片光滑的闭曲面 $\Sigma$ 构成，若函数 $P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)$ 在 $\Omega$ 上有一阶连续偏导数，那么

其中 $\Sigma$ 是 $\Omega$ 整个边界曲面的外侧，这就是高斯公式

其中我们定义

为这个通量场的散度，记作 $div \ \vec v$，衡量了流体在某一点的平均流入于流出的差值极限

注意这里的 $\Sigma$ 是整个边界，包含边界曲面的所有面，因此通常是需要再分的

对于方向，取法向量指向空间区域外部的那一侧

同样地，这里的空间区域 $\Omega$ 必须闭合，否则要增加一个辅助面才能继续使用高斯公式

沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件#

首先我们定义，如果在一个空间闭区域 $\Omega$ 内，其中任意一个闭曲面的区域都全属于 $\Omega$，$\Omega$ 就是一个闭曲面单连通区域

于是我们得以给出定理，在闭曲面单连通区域 $\Omega$，若 $P,Q,R$ 在 $\Omega$ 内有一阶连续偏导数，则曲面积分

(1) 在 $\Omega$ 内与我们取的 $\Sigma$ 无关，并且只取决于 $\Sigma$ 的边界曲线，(2) 或者沿着 $\Omega$ 内任意闭曲面的曲面积分为0的充分必要条件就是

Stokes公式#

斯托克斯公式就是三维版本的格林公式

若 $\Gamma$ 为分段光滑的空间有向闭合曲线， $\Sigma$ 为以 $\Gamma$ 为边界的分片光滑的有向曲面，$\Gamma$ 的正向与 $\Sigma$ 的侧 (即法向量方向) 复合右手定则，函数 $P,Q,R$ 在曲面 $\Sigma$ ，连同在 $\Gamma$ 上有一阶连续偏导数，那么就有

其中

称为旋度，记作 $rot(\vec v)$，这一个量刻画了流体的旋转，得出的方法为