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微积分下 20 -对坐标的曲线积分

2026-08-10

学习

微积分

/

数学

我们考虑变力沿着曲线的做功，变力为

F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))

质点从A沿着光滑曲线弧L运动到B,我们将这一曲线弧分为n段，然后得到

\Delta W_i=F(\xi_i,\eta_i)\cdot\vec{M_{i-1}M_i}

再令每个小弧段的长度都趋近于0，就得到

W=\lim_{\lambda\to 0}\sum_{i=1}^{n}[P(\xi_i,\eta_i)\Delta x_i+Q(\xi_i,\eta_i)\Delta y_i]

我们定义，L在xOy面内从点A到点B有一光滑曲线弧L， $P(x,y),Q(x,y)$ 在L上有界，在L上沿着曲线所规定的方向，也就是从起点到终点，插入点，使得L被分为n个有向小弧段，在每个小弧段上取任意点 $(\xi_i,\eta_i)$ ，然后极限 $\lim_{\lambda\to 0}\sum_{i=1}^{n}P(\xi_i,\eta_i)\Delta x_i,\lim_{\lambda\to 0}\sum_{i=1}^{n}Q(\xi_i,\eta_i)\Delta y_i$ 总是存在并且与曲线弧的分法无关，那么就称为 $P(x,y)$ 在有向曲线弧L上对坐标x的曲线积分，和 $Q(x,y)$ 在有向曲线弧L上对坐标y的曲线积分，记作

\int_L P(x,y)dx = \lim_{\lambda\to 0}\sum_{i=1}^{n}P(\xi_i,\eta_i)\Delta x_i

\int_L Q(x,y)dy = \lim_{\lambda\to 0}\sum_{i=1}^{n}Q(\xi_i,\eta_i)\Delta y_i

这也称为第二类曲线积分，P和Q为被积函数，L为积分弧段

第二类曲线积分的计算方法#

P，Q在有向曲线弧L上有定义，并且L有参数方程

\begin {cases} x=\phi(t)\\ y=\psi(t) \end {cases}

当t单调地从 $\alpha$ 变化到 $\beta$ 时，点 $M(x,y)$ 从L的起点A沿L运动到终点B (上下限一一对应，不要管上下限算出来谁大谁小)，若 $\phi(t),\psi(t)$ 在闭区间 $[\alpha,\beta]$ 上有一阶连续导数，且 $\phi'^2(t)+\psi'^2(t)\neq 0$ ，那么曲线积分 $\int_L P(x,y)dx+Q(x,y)dy$ 就存在，并且