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两只鸽子
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4 分钟
微积分下 12 - 多元函数的基本概念
2026-08-02
学习
数学
/
微积分

我们已经知道了在二维平面上的微分和积分，那么扩展到三维平面上的情况如何呢？这就是我们接下来要讨论的东西，我们以二元函数为主

二元函数就是二维平面空间上的子集，也就是平面点集

定义域#

首先我们定义邻域，若 PP 为平面 xOyxOy 上的一个点， δ\delta 是一个正数，与点 PP 的距离小于 δ\delta 的点 RR 的全体，就叫做 PP 的 δ\delta 邻域，记作

U(P,δ)={R∣∣PR∣<δ}U(P,\delta)=\{ R||PR|<\delta \}

这就是一个开邻域，同样也有去心邻域

U˚(P,δ)={R∣0<∣PR∣<δ}\mathring{U}(P,\delta)=\{ R|0<|PR|<\delta \}

如果不关心半径，可以去掉 δ\delta ，表示P的某一个邻域

内点#

如果 U(P)U(P) 中每一个点都在点集 EE 中，也就是 U(P)⊂EU(P) \subset E ，那么称 PP 为 EE 的内点

外点#

如果 U(P)U(P) 的每一个点都不在点集 EE 中，U(P)∩E=∅U(P)\cap E=\emptyset ，那么称 PP 为 EE 的外点

边界点#

如果对于所有 PP 的邻域，都既有在 EE 内的点，也有不属于 EE 的点，那么称 PP 为 EE 的边界点

边界点的全体，就叫做 EE 的边界，记作 ∂E\partial E

EE 的内点必定属于它，外点必定不属于它，而边界点既可能属于它，也可能不属于它

聚点#

如果对于任意 δ>0\delta >0 ，P的去心邻域内总有 EE 中的点，那么就称 PP 为 EE 的聚点。由这个定义可知，聚点既可以属于，也可以不属于 EE ，点集 EE 或其边界 ∂E\partial E 上的一切点都是 EE 的聚点

开集#

如果点集 EE 的点都是其内点，那么称其为开集

闭集#

如果点集 EE 的边界 ∂E⊂E\partial E \subset E ，那么称 EE 为闭集

连通集#

如果点集 EE 内的任意两个点都可以用折线连接起来，并且折线上的所有点都属于 EE ，那么称 EE 为连通集

区域(也叫开区域)#

连通的开集叫做开区域

闭区域#

开区域连同其边界构成的点集称为闭区域

有界集#

对于平面点集 EE ，如果存在一个 r>0r>0 ，使得

E⊂U(0,r)E\subset U(0,r)

那么 EE 是有界集

无界集#

不是有界集的点集称为无界集

多元函数#

设 DD 是 R2\mathbb R^2 的一个非空子集，称映射 f:D→Rf:D\to \mathbb{R} 为定义在 DD 上的二元函数，极为

z=f(x,y)    (x,y)∈Dz=f(x,y) \ \ \ \ (x,y)\in D

其中 x,yx,y 为自变量， zz 为因变量，

f(x,y)f(x,y) 的全体构成的集合称为函数 ff 的值域，即

f(D)={z ∣ z=f(x,y), (x,y)∈D}f(D)=\{z\ | \ z=f(x,y),\ (x,y)\in D\}

定义域为闭区域的连续函数，值域也是闭区域

多元函数的极限#

二元函数 z=f(x,y)z=f(x,y) 在 P0(x0,y0)P_0(x_0,y_0) 的极限即，当 P(x,y)→P(x0,y0)P(x,y) \to P_(x_0,y_0) 时，f(x,y)f(x,y) 无限趋近常数 AA， 那么就称 AA 为 f(x,y)f(x,y) 在 (x,y)→(x0,y0)(x,y) \to (x_0,y_0) 时的极限

lim⁡(x,y)→((x0,y0))=A\lim_{(x,y)\to((x_0,y_0))}=A

或

lim⁡P→P0=A\lim_{P\to P_0} = A

使用 ϵ−δ\epsilon - \delta 语言来描述：

对于二元函数 f(P)=f(x,y)f(P)=f(x,y) ，其有定义域 DD ，P0(x0,y0)P_0(x_0,y_0) 是 DD 的一个聚点，如果存在常数 AA ，使得对于任意一个正数 ϵ\epsilon ，都存在正数 δ\delta ，使得 P(x,y)∈D∩U˚(P0,δ)P(x,y) \in D\cap \mathring{U}(P_0,\delta) 时

∣f(x,y)−A∣<ϵ|f(x,y)-A|< \epsilon

那么就有

lim⁡P→P0=A\lim_{P\to P_0} = A

二元函数的极限也叫做二重极限

求解多元函数的极限#

我们使用极坐标来求二元函数的极限 lim⁡P→P0f(x,y)\lim_{P\to P_0}f(x,y) ，这时候我们令 (x,y)=(x0+ρcos⁡θ,y0+ρcos⁡θ)(x,y) = (x_0+\rho \cos\theta,y_0 + \rho\cos\theta) ，然后代入

lim⁡ρ→0f(x,y)\lim_{\rho \to 0}f(x,y)

求解即可

这时候，如果结果中仍然含有不能看作 00 的 cos⁡θ，sin⁡θ\cos\theta，\sin\theta ，那么就说明极限不存在，因为这里的 cos⁡，sin⁡\cos，\sin 不是常数

分母的 x,yx,y 次数不同，一般是没有极限的

多元函数的连续性#

对于二元函数 f(P)=f(x,y)f(P)=f(x,y) ，其有定义域 DD ，P0(x0,y0)P_0(x_0,y_0) 是 DD 的一个聚点且 P0∈DP_0\in D ，如果

lim⁡(x,y)→(x0,y0)f(x,y)=f(x0,y0)\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0)

那么就说 f(x,y)f(x,y) 在 (x0,y0)(x_0,y_0) 连续，如果其在区间 DD 上处处连续，那么就称其为DD 上的连续函数

导数#

通过将 PP 限制在过 P0P_0 的直线上将 ΔP\Delta P 标量化，再做比值来反映无穷小的因果关系

我们设定位向量 l⃗=(cos⁡θ,sin⁡θ)\vec l =(\cos\theta,\sin\theta) ，他就是上述直线的方向向量，若

lim⁡ρ→0+f(x0+ρcos⁡θ,y0+ρsin⁡θ)−f(x0,y0)ρ=A\lim_{\rho \to 0^+}\frac{f(x_0+\rho\cos\theta, y_0+\rho\sin\theta)-f(x_0,y_0)}{\rho}=A

中 AA 存在，那么称 AA 为 PP 沿着 l⃗\vec l 方向在 P0P_0 处的方向导数，记作

∂f∂l∣P0=∂f∂l(P0)\frac{\partial f}{\partial l}|_{P_0}=\frac{\partial f}{\partial l}(P_0)

然后

lim⁡ρ→0f(x0+ρcos⁡θ,y0+ρsin⁡θ)−f(x0,y0)ρ=A\lim_{\rho \to 0}\frac{f(x_0+\rho\cos\theta, y_0+\rho\sin\theta)-f(x_0,y_0)}{\rho}=A

AA 若存在，那么称 AA 为 PP 沿着 l⃗\vec l 方向在 P0P_0 处的直线导数，记作

∂f±∂l∣P0=∂f±∂l(P0)\frac{\partial f}{\pm \partial l}|_{P_0}=\frac{\partial f}{\pm\partial l}(P_0)

而且左右的导数有关系

∂f±∂l(P0)存在  ⟺  ∂f∂l(P0),∂f−∂l(P0)存在且互为相反数\frac{\partial f}{\pm\partial l}(P_0) \text{存在}\iff \frac{\partial f}{\partial l}(P_0), \frac{\partial f}{-\partial l}(P_0)\text{存在且互为相反数}

可微#

我们将

dz=(A,B)⋅ΔPdz=(A,B)\cdot \Delta P

定义为 zz 在这 P0P_0 的微分，也可以写为

dz=AΔx+BΔy+o(ρ)dz=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho)

尾部是一个高阶无穷小

使用方向导数，我们也可以写为

dz=(A,B)⋅l⃗=Acos⁡θ+Bsin⁡θdz=(A,B)\cdot\vec l=A\cos\theta+B\sin\theta

其中

A=δfδx(P0),B=δfδy(P0)A=\frac{\delta f}{\delta x}(P_0), B=\frac{\delta f}{\delta y}(P_0)

对一个变量求偏导的时候，另一个变量视为常数

充要条件#

可微必连续

可微必可导(偏导数和方向导数都存在) 反过来不成立

偏导数#

偏导数出现的原因是，二元函数的导数不好求解，于是我们将一个变量堪为常量，将函数变为一元函数，然后对剩下的变量求导，这就是偏导数

例如，对于在 U(x0,y0)U(x_0,y_0) 有定义的 z=f(x,y)z=f(x,y) ，当y固定而x有增量 Δx\Delta x 时，如果

lim⁡Δx→0f(x0+Δx,y0)−f(x0,y0)Δx\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}

存在，这就是 zz 在 (x0,y0)(x_0,y_0) 处对x的偏导数，记作

δzδx∣x=x0y=y0\frac{\delta z}{\delta x}|_{\begin {aligned}x=x_0\\ y=y_0\end {aligned}}

或

fx(x0,y0)f_x(x_0,y_0)

如果 z=f(x,y)z=f(x,y) 在区域D内每一点都有对x的偏导数，那么这个偏导数就是 x, y的函数，称为 z=f(x,y)z=f(x,y) 对自变量x的偏导函数 ，简称为偏导数记作

δzδx,δfδx或fx(x0.y0)\frac{\delta z}{\delta x},\frac{\delta f}{\delta x}或f_x(x_0.y_0)

**如果δfδx,δfδy\frac{\delta f}{\delta x},\frac{\delta f}{\delta y} 在 U(P0)U(P_0) 处处有定义，且在 P0P_0 连续，那么 ff 在 P0P_0 处可微

高阶偏导数#

对x求两次偏导数，记作

δδx(δfδx)=δ2fδx2\frac{\delta}{\delta x}(\frac{\delta f}{\delta x})=\frac{\delta^2 f}{\delta x^2}

也可以混合求导，然后分母从左到右的顺序就是求导的顺序，注意是有顺序的！

δδy(δfδx)=δ2fδxδy\frac{\delta}{\delta y}(\frac{\delta f}{\delta x})=\frac{\delta^2 f}{\delta x\delta y}

高阶偏导数求导次序定理#

如果偏导函数

δ2fδxδy,δ2fδyδx\frac{\delta^2 f}{\delta x\delta y},\frac{\delta^2 f}{\delta y\delta x}

在 P0P_0 处均连续，那么他们是相等的，因此初等函数的偏导数和求导次序无关

偏微分方程#

恰如微分方程可以建立微分方程，偏微分函数也可以建立方程

譬如波动方程

∂2z∂y2=a2∂2z∂x2\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=a^2\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}

拉普拉斯方程

∂2z∂y2+∂2z∂x2=0\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}=0

及其三元形式

∂2u∂x2+∂2u∂y2+∂2u∂x2=0\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=0

满足拉普拉斯方程的函数称为调和函数

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微积分下 12 - 多元函数的基本概念
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作者
两只鸽子
发布于
2026-08-02
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