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两只鸽子
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828 字
2 分钟
微积分下 10 - 曲面及其方程
2026-06-10
学习
微积分

旋转曲面#

旋转曲面是由平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所形成的曲面

方程#

首先我们已知平面yOz上有曲线

C:f(y,z)=0C:f(y,z)=0

其绕着z轴旋转，那么其上某一点旋转后z轴坐标不变，且到z轴的距离不变，那么

x2+y2=y0\sqrt{x^2+y^2}=y_0

于是就有了曲面方程为

f(x2+y2,z)f(\sqrt{x^2+y^2},z)

按照y轴旋转时候的坐标同理，其他平面上的曲线按照任意坐标轴旋转也是同理的

对于参数方程情况，例如

{x=x(t)y=y(t)z=z(t)\begin {cases} x=x(t)\\ y=y(t)\\ z=z(t) \end {cases}

绕z轴旋转后就有

{x=x2(t)+y2(t)cos⁡θy=x2(t)+y2(t)sin⁡θz=z(t)\begin {cases} x=\sqrt{x^2(t)+y^2(t)}\cos\theta\\ y=\sqrt{x^2(t)+y^2(t)}\sin\theta\\ z=z(t) \end {cases}

那么，如果是绕着一个任意的向量旋转，应该怎么确定曲面方程呢？

我们在线性代数中学习过坐标轴变换的方法，直接使用即可

Instances#

双曲面#

双叶双曲面#

由在平面xOz上的双曲线 x2a2−z2b2=1\frac{x^2}{a^2}-\frac{z^2}{b^2}=1 绕着x轴旋转的来，呈现两个分开的碗状

x2a2−y2+z2b2=1\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2+z^2}{b^2}=1

单叶双曲面#

呈现一个核反应堆的冷却塔状，由上文中的双曲线绕着z轴旋转得来

x2+y2a2−z2b2=1\frac{x^2+y^2}{a^2}-\frac{z^2}{b^2}=1

球面#

一个圆绕直径旋转得来

(x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2=R\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2}=R

环面#

环面是一个四次曲面

柱面#

柱面实际上由直线L沿着给定曲线C平行移动得来，定曲线C称为准线，直线L称为柱面的母线

例如说

x2+y2=R2x^2+y^2=R^2

是一个L平行于z轴，C为xOy平面上的圆 x2+y2=R2x^2+y^2=R^2 形成的圆柱面

一般地只含有x,y,z中的两项的方程，例如F(x,y)=0，在空间直角坐标系中，就表示母线平行于缺失的那一项所表示的坐标轴的柱面，其准线是由含有的两项所表示的坐标轴形成的平面上的曲线

用几何描述可以简单地写出柱面方程，例如圆柱面即为到给定直线的距离恒定的点集

由二次型确定的曲面就是二次曲面，二次曲线的分类也就是基于其系数矩阵特征值的正负

椭圆锥面#

齐次且特征值有一个负

椭圆锥就是底面为椭圆的圆锥

x2a2+y2b2=z2\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z^2

椭圆抛物面#

非齐次且有一个特征值为0，其余特征值为正，一次项还在

x2a2+y2b2=z\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z

双曲抛物面#

又称为马鞍面，因为长得像马鞍。非齐次且一个特征值为0，剩下的特征值一正一负，一次项还在

x2a2−y2b2=z\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=z

这时候 (0,0,0)(0,0,0) 处其性质发生变化，是一个分界点，称为鞍点

单叶双曲面#

非齐次且特征值有一个负

x2a2+y2b2−z2c2=1\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1

双叶双曲面#

非齐次且特征值有两个负

x2a2−y2b2−z2c2=1\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1

椭球面#

非齐次且特征值全为正

x2a2+y2b2+z2c2=1\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1

二次柱面#

x2a2+y2b2=1,x2a2−y2b2=1,x2=ay\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1,x^2=ay

像这样的非齐次方程且一个特征值为0的情形，会形成二次柱面，依次为椭圆柱面，双曲柱面，抛物柱面

直纹面#

可以由直线绕一个轴旋转得来的曲面，实际上，马鞍面和单叶双曲面就是直纹面，这也是最常见的两种直纹面

实际上，直纹面除了这两种之外，就只有锥面和柱面了

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微积分下 10 - 曲面及其方程
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作者
两只鸽子
发布于
2026-06-10
许可协议
CC BY-NC-SA 4.0

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