$Q(x)=e^{rx}$#

由于指数函数求导就是

所以积分也就是

因此

也就是特解了

$Q(x)=e^{rx}P_m(x)$#

其中 $P_m(x)$ 为多项式

类似上面一个情况，我们猜测一个y的形式，令一个特解为

于是

代回到原方程，约掉 $e^{rx}$ 就有

就得到了新的方程

这时候我们把原方程的特征方程设为

于是就有

所以就可以把Q的方程写为

然后我们根据r和 $C(\lambda)=0$ 的关系分情况讨论

$Q(x)=\sin{kx}或\cos{kx}$#

我们根据三角函数的特性知道，对正弦或余弦函数求导两次就会有

于是我们就i可以直接用 $-k^2$ 替换 $D^2$

这时候我们乘以分母的共轭项，对分母升次来处理单独的 $D$

这样一来，分母变为常数，就很好解决了

我们就有了方程的特解

分母为零时，$p=0,q=k^2$ ，$y''+k^2y=\sin{kx}$，实际上就是共振方程

在这一情况下

$Q(x)=e^{rx}[P_l(x)\cos{\omega x}+Q_n(x)\sin{\omega x}]$#

这时候，我们不希望处理三角函数，因此直接使用欧拉公式来化解三角函数

欧拉公式: $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$

就有

这时候我们构造一个复数多项式

然后构造

展开就有

不难发现，这个式子左侧就是 $Q(x)$ ，$Q(x)$ 就是一个复变函数的实部

于是我们构造一个复数函数 $z(x)$ 为上述式子，它的特解的实部就是 $y_p$ 了，再令 $\lambda = r+i\omega$，它满足

这时候，就得到了我们朝思暮想的多项式形式的方程，成功拿走了三角函数，那么我们运用之前的结论，就可以设特解

那么显然 $R_m(x)$ 是复数多项式，于是我们拆开， $R_m(x)=A_m(x)+iB_m(x)$ ，$e^{\lambda x}=e^{rx}(\cos{\omega x}+i\sin{\omega x})$ (欧拉公式)，那么

像刚刚那样，我们提取出实数部分，就有了特解形式的公式

同样使用待定系数的方法回代，求解出 $A_m(x)$ 和 $B_m(x)$ ，我们就得到了特解

通解#

你可能发现了刚刚我们只求了特解，那通解呢？现在让我们假定特解是 $y_p$ ，它满足了

但是它不通用，于是我们想，可以加入一个等价于0的项，而且和原有方程相关，然后我们就发现

的通解，也就是这一非齐次方程对应的其次方程的通解 $y_h$ 就可以很好地充当0了！

好糟糕的表述

于是我们把这两组方程加在一起，就有了通解的形式

例题#

$y_1(x)=\sin{x}+e^x, y_2(x)=\cos{x}+e^x,y_3(x)=e^x$为一个二阶线性微分方程的三个特解。求此微分方程的通解和微分方程的具体形式

对于线性非齐次微分方程，任意两个特解的差，必定是对应齐次方程的解。

已知三个特解为： $y_1(x) = \sin x + e^x$ $y_2(x) = \cos x + e^x$ $y_3(x) = e^x$

我们用它们作差，来寻找齐次方程的解： $y_1 - y_3 = (\sin x + e^x) - e^x = \sin x$ $y_2 - y_3 = (\cos x + e^x) - e^x = \cos x$

因为 $\sin x$ 和 $\cos x$ 线性无关（二者不成比例），且原方程是二阶的，所以我们已经找齐了齐次方程的基础解系，即 $y_{h1} = \sin x$, $y_{h2} = \cos x$。

二阶线性非齐次微分方程的通解公式为： 通解 = 齐次方程的通解 + 非齐次方程的任意一个特解

所以，该方程的通解为： $y(x) = C_1 \sin x + C_2 \cos x + e^x$ （注：特解选 $y_1, y_2, y_3$ 中的哪一个都可以，通常选最简单的 $y_3=e^x$；$C_1, C_2$ 为任意常数）